SATS4421 — Metode Statistika Multivariat

1. Sebuah matriks A berukuran 3×2 dikalikan dengan matriks B berukuran 2×4, kemudian hasilnya ditranspose. Dimensi matriks akhir yang terbentuk adalah…

A. 3 × 4
B. 3 × 2
C. 2 × 3
D. 4 × 3

Jawaban: D. Perkalian A(3×2) × B(2×4) menghasilkan matriks berukuran 3×4. Transpose dari matriks 3×4 menghasilkan matriks 4×3.

2. Diberikan dua matriks A dan B dengan ukuran yang sama. Operasi A + B dan 3A memiliki kesamaan dalam hal…

A. Keduanya melibatkan perkalian baris dengan kolom
B. Keduanya memerlukan jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B
C. Keduanya hanya dapat dilakukan pada matriks persegi
D. Keduanya dilakukan secara elemen per elemen

Jawaban: D. Penjumlahan dua matriks dan perkalian skalar terhadap matriks merupakan operasi yang dilakukan pada setiap elemen yang bersesuaian, berbeda dengan perkalian matriks yang melibatkan baris dan kolom.

3. Seorang analis data di perusahaan logistik mengorganisasi data pengiriman dalam bentuk tabel dua dimensi agar mudah dimanipulasi secara matematis. Struktur matematis yang tepat untuk merepresentasikan data tersebut adalah…

A. Vektor kolom
B. Skalar
C. Matriks
D. Array tiga dimensi

Jawaban: C. Matriks adalah susunan persegi panjang bilangan yang diatur dalam baris dan kolom, cocok untuk merepresentasikan data tabular dua dimensi.

4. Jika A adalah matriks berukuran 4×5, maka transpose dari A memiliki elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 yang berasal dari elemen A pada…

A. Baris ke-2 kolom ke-3
B. Baris ke-3 kolom ke-2
C. Baris ke-3 kolom ke-5
D. Baris ke-5 kolom ke-2

Jawaban: B. Transpose menukar baris dan kolom, sehingga elemen (2,3) pada Aᵀ berasal dari elemen (3,2) pada A.

5. Dalam sebuah sistem rekomendasi, matriks pengguna-item berukuran 100×50 akan dikalikan dengan matriks item-fitur berukuran 50×20. Dimensi matriks hasil perkalian adalah…

A. 100 × 20
B. 50 × 100
C. 20 × 100
D. 100 × 50

Jawaban: A. Perkalian matriks m×n dengan n×p menghasilkan matriks m×p. Di sini 100×50 dikali 50×20 menghasilkan 100×20.

6. Dua matriks A dan B memenuhi sifat (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Sifat ini menunjukkan bahwa operasi transpose terhadap hasil kali matriks…

A. Membalik urutan perkalian setelah masing-masing ditranspose
B. Menghasilkan matriks yang identik dengan transpose masing-masing dikali dalam urutan yang sama
C. Bersifat komutatif
D. Hanya berlaku jika kedua matriks persegi

Jawaban: A. Transpose dari hasil kali dua matriks sama dengan hasil kali transpose masing-masing dalam urutan terbalik, yaitu (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

7. Sebuah matriks persegi A memiliki invers A⁻¹. Manakah pernyataan yang pasti benar…

A. Determinan A sama dengan nol
B. Berlaku A A⁻¹ = I
C. A disebut matriks singular
D. A⁻¹ = Aᵀ

Jawaban: B. Syarat invers adalah A A⁻¹ = A⁻¹ A = I. Jika determinan nol, matriks singular dan tidak memiliki invers. Invers tidak selalu sama dengan transpose.

8. Jika determinan matriks B bernilai nol, maka implikasi langsungnya adalah…

A. B tidak memiliki invers
B. B adalah matriks nonsingular
C. B memiliki invers yang unik
D. Transpose B sama dengan B itu sendiri

Jawaban: A. Determinan nol menandakan matriks singular, yang berarti tidak memiliki invers. Matriks nonsingular memiliki determinan tidak nol.

9. Diketahui matriks P dan Q masing-masing berukuran 3×3 dan nonsingular. Invers dari hasil kali PQ dinyatakan sebagai…

A. P⁻¹ Q⁻¹
B. (PQ)ᵀ
C. Q⁻¹ P⁻¹
D. Q P

Jawaban: C. Sifat invers hasil kali matriks adalah (PQ)⁻¹ = Q⁻¹ P⁻¹, urutan perkalian invers dibalik.

10. PT Manufaktur Cemerlang menggunakan matriks untuk memodelkan hubungan input-output antar tiga divisi. Jika matriks koefisien teknisnya memiliki determinan 0,025, maka…

A. Sistem persamaan linear terkait tidak memiliki solusi unik
B. Matriks tersebut singular
C. Sistem tersebut overdetermined
D. Matriks tersebut memiliki invers

Jawaban: D. Determinan 0,025 tidak sama dengan nol, sehingga matriks nonsingular dan memiliki invers. Matriks singular memiliki determinan tepat nol.

11. Seorang peneliti ingin menghitung invers dari matriks A berukuran 2×2 dengan elemen a₁₁=4, a₁₂=7, a₂₁=2, a₂₂=6. Determinan matriks A adalah…

A. 10
B. 24
C. -10
D. 38

Jawaban: A. Determinan matriks 2×2 dihitung sebagai (4×6) − (7×2) = 24 − 14 = 10.

12. Dalam perhitungan invers matriks 3×3, kofaktor digunakan untuk membentuk matriks adjoin. Jika semua kofaktor suatu baris bernilai nol, maka…

A. Invers matriks tersebut berupa matriks identitas
B. Matriks tersebut pasti simetris
C. Determinan matriks tersebut pasti nol
D. Matriks tersebut ortogonal

Jawaban: C. Jika semua kofaktor pada suatu baris bernilai nol, maka determinan yang dihitung dari ekspansi kofaktor baris tersebut juga nol, sehingga matriks singular.

13. Analisis multivariat berbeda dengan analisis univariat terutama karena analisis multivariat…

A. Hanya menggunakan variabel berskala nominal
B. Menganalisis beberapa variabel secara simultan
C. Tidak memerlukan asumsi distribusi
D. Hanya berlaku untuk data independen

Jawaban: B. Analisis multivariat menangani lebih dari satu variabel secara serentak untuk memahami hubungan antarvariabel, sedangkan analisis univariat hanya menganalisis satu variabel.

14. Vektor mean dari vektor random X = [X₁, X₂, X₃]ᵀ berisi…

A. Nilai harapan masing-masing komponen X₁, X₂, dan X₃
B. Rata-rata dari seluruh elemen vektor X untuk satu pengamatan
C. Jumlah seluruh variansi dari komponen-komponen X
D. Matriks berukuran 3×3 yang berisi kovariansi

Jawaban: A. Vektor mean adalah vektor yang elemennya merupakan nilai harapan (expected value) dari tiap komponen vektor random, yaitu [E(X₁), E(X₂), E(X₃)]ᵀ.

15. Matriks kovariansi dari vektor random berdimensi tiga memiliki elemen diagonal utama yang merepresentasikan…

A. Kovariansi antar pasangan variabel
B. Korelasi antar pasangan variabel
C. Variansi masing-masing variabel
D. Nilai harapan masing-masing variabel

Jawaban: C. Elemen diagonal matriks kovariansi adalah variansi dari tiap variabel, sedangkan elemen luar diagonal adalah kovariansi antarvariabel.

16. Dalam suatu penelitian pasar, data tiga variabel (harga, permintaan, penjualan) dianalisis bersama. Peneliti menghitung matriks simetris 3×3 dengan elemen diagonal berupa variansi dan elemen luar diagonal berupa kovariansi. Matriks ini disebut…

A. Matriks korelasi
B. Matriks identitas
C. Vektor mean
D. Matriks kovariansi

Jawaban: D. Matriks kovariansi adalah matriks simetris yang memuat variansi pada diagonal utama dan kovariansi pada elemen luar diagonalnya.

17. Seorang analis keuangan mengamati dua saham. Ia menghitung kovariansi return kedua saham sebesar -0,008 dan variansi masing-masing 0,04 dan 0,09. Matriks kovariansi dari vektor random return kedua saham ini memiliki elemen luar diagonal sebesar…

A. 0,04 dan 0,09
B. -0,008
C. 0,008
D. 0,06

Jawaban: B. Elemen luar diagonal matriks kovariansi adalah kovariansi antarvariabel, dalam hal ini -0,008 muncul di posisi (1,2) dan (2,1) karena matriks kovariansi simetris.

18. Seorang analis data mengamati dua variabel random, yaitu suhu udara (X) dan kelembapan (Y). Ia ingin merangkum informasi mengenai sebaran masing-masing variabel sekaligus keeratan hubungan linear keduanya dalam satu matriks 2×2. Matriks yang tepat untuk tujuan tersebut adalah…

A. matriks kovariansi
B. matriks korelasi
C. matriks data
D. matriks variansi

Jawaban: A. Matriks kovariansi menyajikan variansi di diagonal utama dan kovariansi antar variabel di elemen luar diagonal, sehingga memenuhi kebutuhan merangkum sebaran dan hubungan linear sekaligus.

19. Vektor random X = [X₁, X₂]ᵀ memiliki vektor mean μ = [μ₁, μ₂]ᵀ. Elemen pertama vektor mean μ₁ merupakan…

A. rata-rata dari semua elemen vektor X
B. variansi dari X₁
C. nilai harapan E(X₁)
D. kovariansi antara X₁ dan X₂

Jawaban: C. Vektor mean berisi nilai harapan dari masing-masing komponen vektor random, sehingga elemen pertamanya adalah E(X₁).

20. Matriks kovariansi Σ dari vektor random X = [X₁, X₂, X₃]ᵀ memiliki sifat simetris. Elemen σ₂₃ pada matriks tersebut merepresentasikan…

A. variansi dari X₂
B. kovariansi antara X₂ dan X₃
C. variansi dari X₃
D. nilai harapan dari X₂ dikurangi X₃

Jawaban: B. Elemen luar diagonal σ_{jk} pada matriks kovariansi menyatakan kovariansi antara komponen ke-j dan ke-k, sehingga σ₂₃ adalah kovariansi antara X₂ dan X₃.

21. PT Agro Nusantara memantau tiga indikator kualitas tanah: pH (X₁), kadar nitrogen (X₂), dan kadar fosfor (X₃). Manajemen ingin mengetahui apakah variabilitas pH lebih besar dibandingkan nitrogen. Informasi ini dapat langsung diperoleh dari…

A. elemen luar diagonal matriks kovariansi
B. elemen diagonal matriks kovariansi
C. vektor mean
D. determinan matriks kovariansi

Jawaban: B. Elemen diagonal matriks kovariansi adalah variansi masing-masing variabel. Membandingkan σ₁₁ dan σ₂₂ langsung menunjukkan variabel mana yang lebih bervariasi.

22. Perbedaan utama antara vektor random dan matriks random terletak pada…

A. vektor random hanya memuat variabel kontinu, matriks random memuat variabel diskrit
B. vektor random berdimensi satu, matriks random berdimensi lebih dari satu
C. vektor random berisi variabel random, matriks random berisi konstanta
D. vektor random adalah kasus khusus matriks random dengan satu kolom

Jawaban: D. Vektor random adalah matriks random berukuran p×1 atau 1×p, sehingga dapat dipandang sebagai kasus khusus dari matriks random yang elemennya variabel random.

23. Diberikan matriks random X berukuran 3×2. Nilai harapan dari matriks random tersebut, E(X), adalah…

A. sebuah matriks 3×2 berisi nilai harapan setiap elemennya
B. sebuah vektor berukuran 3×1 berisi rata-rata tiap baris
C. sebuah skalar yang merupakan rata-rata seluruh elemen X
D. sebuah skalar yang merupakan determinan dari X

Jawaban: A. Nilai harapan matriks random adalah matriks dengan dimensi sama, yang setiap elemennya merupakan E(X_{ij}).

24. Peneliti kesehatan mengamati tekanan darah sistolik (X₁) dan diastolik (X₂) pada pasien. Ia membentuk kombinasi linear Y = 2X₁ − 3X₂. Jika vektor mean μ = [120, 80]ᵀ, maka E(Y) sama dengan…

A. 240
B. −240
C. 0
D. 480

Jawaban: C. E(Y) = E(2X₁ − 3X₂) = 2E(X₁) − 3E(X₂) = 2(120) − 3(80) = 240 − 240 = 0.

25. Jika V adalah matriks kovariansi dari vektor random X dan Y = cᵀX adalah kombinasi linear dengan vektor konstanta c, maka Var(Y) dinyatakan sebagai…

A. cᵀ V
B. V c
C. c V cᵀ
D. cᵀ V c

Jawaban: D. Variansi kombinasi linear cᵀX adalah bentuk kuadratik cᵀ Σ c, di mana Σ adalah matriks kovariansi X.

26. Sebuah matriks random Z berukuran 2×2 memiliki elemen-elemen yang saling independen dengan mean nol dan variansi satu. Pernyataan yang benar tentang E(ZᵀZ) adalah…

A. E(ZᵀZ) adalah matriks nol 2×2
B. E(ZᵀZ) adalah matriks identitas 2×2
C. E(ZᵀZ) adalah 2I₂
D. E(ZᵀZ) tidak terdefinisi

Jawaban: C. E(ZᵀZ) berukuran 2×2 dengan elemen diagonal Σ E(Z_{ki}^2) = 2 dan elemen luar diagonal Σ E(Z_{ki}Z_{kj}) = 0.

27. Seorang peneliti mengumpulkan data tinggi badan dan berat badan dari 50 responden. Ia memplot data dalam ruang berdimensi dua dan mengamati titik pusat sebaran data. Titik pusat ini secara statistik disebut…

A. centroid
B. deviasi
C. jarak Mahalanobis
D. outlier

Jawaban: A. Centroid adalah vektor mean sampel yang merepresentasikan titik pusat dari kumpulan data multivariat.

28. Dalam analisis sampel random multivariat berukuran n, deviasi setiap pengamatan terhadap mean sampel digunakan untuk menghitung…

A. centroid
B. matriks kovariansi sampel
C. jarak Euclidean saja
D. vektor mean populasi

Jawaban: B. Matriks kovariansi sampel S dihitung dari jumlah kuadrat dan perkalian silang deviasi pengamatan terhadap mean sampel.

29. Jarak Mahalanobis berbeda dari jarak Euclidean dalam konteks data multivariat karena jarak Mahalanobis…

A. memperhitungkan matriks kovariansi data
B. mengabaikan korelasi antar variabel
C. selalu bernilai lebih kecil dari jarak Euclidean
D. hanya dapat dihitung untuk dua variabel

Jawaban: A. Jarak Mahalanobis menstandarkan data dengan invers matriks kovariansi sehingga memperhitungkan struktur korelasi dan skala antar variabel.

30. Dua titik data A dan B memiliki jarak Euclidean yang sama terhadap centroid. Namun, jika dilihat dari elipsoida sebaran data, A berada di dalam kontur 95% sedangkan B di luar. Hal ini menunjukkan bahwa…

A. jarak Euclidean A lebih kecil dari B
B. A adalah outlier
C. jarak Mahalanobis A lebih kecil dari B
D. kovariansi data nol

Jawaban: C. Kontur elipsoida mengikuti jarak Mahalanobis konstan. A di dalam kontur berarti jarak Mahalanobisnya lebih kecil, meskipun jarak Euclidean keduanya sama.

31. PT Ekspres Logistik menganalisis data pengiriman: jarak tempuh (km), waktu tempuh (jam), dan konsumsi BBM (liter). Sebelum menghitung jarak Mahalanobis antar pengamatan, langkah penting yang harus dilakukan adalah…

A. menghitung mean masing-masing variabel
B. menghilangkan outlier dari data
C. menghitung jarak Euclidean terlebih dahulu
D. menstandarkan data dengan invers matriks kovariansi

Jawaban: D. Jarak Mahalanobis didefinisikan sebagai (x−μ)ᵀ S⁻¹ (x−μ), sehingga memerlukan invers matriks kovariansi untuk menstandarkan dan menghilangkan efek korelasi.

32. Matriks kovariansi sampel S dengan pembagi n−1 digunakan sebagai estimator Σ karena…

A. lebih mudah dihitung dibanding pembagi n
B. menghasilkan estimator tak bias bagi Σ
C. menghasilkan matriks yang selalu diagonal
D. sesuai dengan teorema limit pusat

Jawaban: B. Pembagi n−1 membuat nilai harapan S sama dengan Σ sehingga S adalah estimator tak bias untuk matriks kovariansi populasi.

33. Seorang mahasiswa menghitung matriks kovariansi sampel menggunakan pembagi n dan memperoleh S_n. Dosen memintanya menggunakan pembagi n−1 agar diperoleh S. Hubungan antara keduanya adalah…

A. S = (n/(n−1)) S_n
B. S = S_n
C. S = ((n−1)/n) S_n
D. S = S_n + (1/n)

Jawaban: A. S_n menggunakan pembagi n sehingga S_n = ((n−1)/n) S. Dengan demikian S = (n/(n−1)) S_n.

34. Berdasarkan teorema limit pusat multivariat, untuk ukuran sampel yang besar, rata-rata sampel dari vektor random akan mendekati distribusi…

A. chi-square dengan derajat bebas p
B. Wishart dengan parameter Σ dan n−1
C. t-Student multivariat
D. normal multivariat dengan mean µ dan kovariansi Σ/n

Jawaban: D. Teorema limit pusat multivariat menyatakan bahwa √n(x̄ − µ) konvergen dalam distribusi ke N_p(0, Σ), sehingga x̄ ~ N_p(µ, Σ/n) untuk n besar.

35. Dalam mengestimasi matriks kovariansi populasi Σ, seorang peneliti mempertimbangkan dua formula: satu dengan pembagi n dan satu lagi dengan pembagi n−1. Alasan utama penggunaan pembagi n−1 adalah untuk memperoleh estimator yang bersifat…

A. efisien
B. konsisten
C. tak bias
D. invarian

Jawaban: C. Estimator dengan pembagi n−1 menghasilkan nilai harapan yang tepat sama dengan parameter populasi Σ, sehingga memenuhi definisi estimator tak bias. Sebaliknya, pembagi n menghasilkan estimator bias.

36. Sebuah lembaga survei mengumpulkan data dari 200 responden mengenai lima variabel demografi. Berdasarkan teorema limit pusat multivariat, rata-rata sampel dari kelima variabel tersebut akan mendekati distribusi normal multivariat meskipun data aslinya tidak normal. Kondisi yang mendasari berlakunya teorema ini adalah…

A. variabel-variabel saling independen
B. ukuran sampel yang besar
C. matriks kovariansi berbentuk diagonal
D. populasi berdistribusi simetris

Jawaban: B. Teorema limit pusat multivariat menyatakan bahwa untuk ukuran sampel n yang besar, distribusi rata-rata sampel akan mendekati normal multivariat, terlepas dari distribusi populasi asalnya, selama variabel memiliki momen hingga.

37. Fungsi densitas normal multivariat untuk vektor random p-dimensi X didefinisikan dengan parameter mean vektor μ dan matriks kovariansi Σ. Syarat agar fungsi densitas ini terdefinisi secara valid adalah…

A. Σ harus matriks definit positif
B. Σ harus matriks diagonal
C. μ harus nol
D. Σ harus matriks identitas

Jawaban: A. Fungsi densitas normal multivariat mensyaratkan Σ sebagai matriks definit positif agar invers Σ⁻¹ ada dan densitas bernilai positif terhingga. Jika Σ singular, densitas tidak terdefinisi.

38. Pada eksponen densitas normal multivariat terdapat bentuk (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ). Bentuk ini dikenal sebagai…

A. jarak Euclidean kuadrat
B. jarak Mahalanobis kuadrat
C. determinan kovariansi
D. trace matriks Σ

Jawaban: B. Bentuk kuadratik (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ) merupakan jarak Mahalanobis kuadrat yang menjadi inti eksponen densitas normal multivariat. Jarak ini menyesuaikan dengan korelasi dan skala variabel melalui Σ⁻¹.

39. Kontur densitas normal multivariat membentuk elipsoida yang berpusat di μ. Sumbu-sumbu elipsoida tersebut ditentukan oleh…

A. vektor mean μ
B. elemen diagonal Σ saja
C. vektor eigen dan akar nilai eigen Σ
D. determinan Σ

Jawaban: C. Elipsoida kontur densitas memiliki sumbu-sumbu yang arahnya ditentukan oleh vektor eigen Σ dan panjangnya proporsional terhadap akar dari nilai eigen yang bersesuaian. Inilah yang membentuk orientasi dan bentuk elipsoida.

40. Seorang peneliti membandingkan densitas normal univariat dan bivariat. Ia mengamati bahwa puncak densitas normal bivariat terletak pada titik μ = [μ₁, μ₂]ᵀ, sedangkan ketinggian puncak tersebut bergantung pada…

A. ukuran sampel n
B. nilai mean μ₁ dan μ₂
C. jumlah variabel p
D. determinan matriks kovariansi Σ

Jawaban: D. Ketinggian puncak densitas normal multivariat ditentukan oleh (2π)^(p/2) |Σ|^(1/2) pada penyebut. Semakin besar determinan Σ, semakin rendah puncak densitasnya karena data lebih menyebar.

41. Seorang analis keuangan menghitung jarak Mahalanobis antara profil risiko dua portofolio terhadap profil rata-rata industri. Ia menemukan kedua portofolio memiliki jarak Mahalanobis yang sama, tetapi jarak Euclidean portofolio A lebih besar dari B. Hal ini terjadi karena…

A. portofolio A memiliki variansi yang lebih kecil
B. portofolio B berasal dari populasi berbeda
C. portofolio A memiliki korelasi yang lebih tinggi dengan variabel lain
D. portofolio A dan B identik

Jawaban: C. Jarak Mahalanobis yang sama meskipun jarak Euclidean berbeda menunjukkan bahwa perbedaan pada portofolio A sejajar dengan arah korelasi tinggi antar variabel, sehingga dinormalisasi oleh Σ⁻¹. Akibatnya, kontribusi perbedaan tersebut direduksi dalam perhitungan Mahalanobis.

42. Kepadatan peluang normal multivariat akan menurun seiring membesarnya jarak Mahalanobis dari mean. Laju penurunan ini bersifat…

A. linear
B. eksponensial
C. polinomial orde dua
D. logaritmik

Jawaban: B. Densitas normal multivariat mengandung exp(−½ (x−μ)ᵀΣ⁻¹(x−μ)), sehingga penurunan terhadap jarak Mahalanobis bersifat eksponensial. Semakin jauh suatu titik dari mean, semakin kecil densitasnya secara eksponensial.

43. Diberikan vektor normal multivariat X = [X₁, X₂, X₃]ᵀ. Jika Cov(X₁, X₂) = 0, maka dalam konteks distribusi normal multivariat, berlaku…

A. X₁ dan X₂ memiliki mean nol
B. X₁ dan X₂ tidak berkorelasi saja, belum tentu independen
C. X₁ dan X₂ memiliki variansi sama
D. X₁ dan X₂ saling independen

Jawaban: D. Sifat khusus distribusi normal multivariat: jika dua komponen tidak berkorelasi (kovariansi nol), maka keduanya saling independen. Ini merupakan kekhasan normal multivariat yang tidak berlaku pada distribusi lain secara umum.

44. Peneliti mengamati vektor X = [X₁, X₂, X₃]ᵀ berdistribusi normal multivariat. Ia hanya tertarik pada distribusi (X₁, X₂) tanpa memperhatikan X₃. Distribusi yang tepat untuk (X₁, X₂) adalah…

A. normal bivariat
B. t-bivariat
C. gamma bivariat
D. eksponensial bivariat

Jawaban: A. Setiap subset komponen dari vektor normal multivariat juga berdistribusi normal. Distribusi marginal (X₁, X₂) dari vektor normal trivariat tetap normal, spesifiknya normal bivariat.

45. Diketahui X = [X₁, X₂]ᵀ berdistribusi normal dengan mean μ dan matriks kovariansi Σ. Distribusi bersyarat X₁ diberikan X₂ = x₂ memiliki mean yang bergantung pada…

A. ukuran sampel
B. hanya μ₁
C. hanya Σ₁₁
D. nilai x₂ dan parameter Σ₁₂

Jawaban: D. Mean bersyarat E(X₁ | X₂ = x₂) = μ₁ + Σ₁₂ Σ₂₂⁻¹ (x₂ − μ₂), sehingga bergantung pada nilai amatan x₂ serta kovariansi Σ₁₂. Ini menunjukkan bahwa informasi dari X₂ mempengaruhi ekspektasi X₁.

46. Vektor X berdistribusi normal multivariat N₃(μ, Σ). Jika Z = A X + b dengan A matriks konstanta dan b vektor konstanta, maka distribusi Z adalah…

A. eksponensial multivariat
B. normal univariat
C. chi-square
D. normal multivariat

Jawaban: D. Kombinasi linear atau transformasi afin dari vektor normal multivariat tetap menghasilkan distribusi normal multivariat. Mean Z adalah A μ + b, dan kovariansinya A Σ Aᵀ.

47. Berbeda dengan distribusi normal univariat, pada normal multivariat sifat 'tidak berkorelasi' ekuivalen dengan 'independen'. Implikasi dari sifat ini dalam pemodelan adalah…

A. struktur korelasi sepenuhnya menentukan dependensi antar variabel
B. semua variabel harus memiliki variansi sama
C. matriks kovariansi harus diagonal
D. mean harus nol untuk semua komponen

Jawaban: A. Pada normal multivariat, korelasi nol mengimplikasikan independensi. Artinya, struktur dependensi antar variabel sepenuhnya ditangkap oleh matriks kovariansi; tidak ada hubungan non-linear yang tersisa di luar itu.

48. Distribusi bersyarat dan distribusi marginal dari vektor normal multivariat sama-sama normal. Perbedaan mendasar antara keduanya terletak pada…

A. distribusi marginal hanya untuk satu variabel, bersyarat untuk banyak variabel
B. distribusi bersyarat melibatkan koreksi berdasarkan variabel yang diketahui, marginal tidak
C. distribusi marginal memerlukan invers matriks, bersyarat tidak
D. distribusi bersyarat selalu memiliki variansi lebih besar

Jawaban: B. Distribusi marginal hanya mengambil subset tanpa memperhitungkan variabel lain, sedangkan distribusi bersyarat menyesuaikan mean dan kovariansinya berdasarkan nilai variabel yang diketahui melalui operasi koreksi Σ₁₂ Σ₂₂⁻¹.

49. Dari populasi normal multivariat N_p(μ, Σ) diambil sampel random berukuran n. Matriks data X berukuran n×p yang terbentuk memiliki struktur…

A. setiap baris adalah satu observasi p-variat
B. setiap kolom adalah satu observasi p-variat
C. diagonal utama berisi mean sampel
D. elemen pertama selalu 1

Jawaban: A. Matriks data X berukuran n×p menyusun setiap observasi sebagai baris dan setiap variabel sebagai kolom. Jadi, baris ke-i berisi nilai-nilai p variabel dari pengamatan ke-i.

50. Seorang mahasiswa statistika mengambil 40 sampel dari populasi yang diduga berdistribusi normal multivariat. Ia menghitung mean sampel x̄. Distribusi dari x̄ adalah…

A. Wishart dengan parameter Σ/n
B. normal dengan mean μ dan kovariansi Σ
C. normal dengan mean μ dan kovariansi Σ/n
D. t-student multivariat

Jawaban: C. Mean sampel dari populasi normal multivariat berdistribusi normal multivariat dengan mean sama seperti populasi μ dan matriks kovariansi yang menyusut menjadi Σ/n, mencerminkan peningkatan presisi seiring bertambahnya n.

51. PT Farmasi Sehat memproduksi obat dengan tiga karakteristik kualitas yang diukur secara simultan. Manajer kualitas ingin memantau apakah rata-rata proses produksi stabil. Ia mengambil 25 sampel dan menghitung mean sampel x̄ serta matriks kovariansi S. Sebelum melakukan inferensi lebih lanjut, ia perlu memastikan bahwa x̄ dan S…

A. saling independen untuk sampel dari normal multivariat
B. memiliki distribusi yang identik
C. berkorelasi positif kuat
D. keduanya berdistribusi Wishart

Jawaban: A. Untuk sampel dari distribusi normal multivariat, mean sampel x̄ dan matriks kovariansi sampel S bersifat saling independen. Sifat ini fundamental dalam inferensi dan memungkinkan pengujian terpisah antara mean dan kovariansi.

52. Dalam suatu penelitian, diambil sampel random berukuran n dari populasi normal multivariat N_p(μ, Σ). Data disusun dalam matriks X berukuran n×p, di mana setiap baris merepresentasikan satu unit pengamatan dan setiap kolom merepresentasikan satu variabel. Matriks X ini dikenal sebagai…

A. matriks kovariansi
B. matriks korelasi
C. matriks data
D. matriks disain

Jawaban: C. Matriks data X menyusun n pengamatan sebagai baris dan p variabel sebagai kolom, sehingga menjadi dasar perhitungan statistik multivariat selanjutnya.

53. PT Cahaya Elektronik memproduksi komponen dengan tiga spesifikasi teknis yang diukur secara bersamaan. Tim kualitas mengambil 36 sampel dan menghitung rata-rata ketiga spesifikasi tersebut. Jika populasi berdistribusi normal multivariat dengan mean μ dan matriks kovariansi Σ, maka distribusi dari mean sampel x̄ adalah…

A. N_p(μ, Σ/n)
B. N_p(μ, Σ/√n)
C. N_p(μ, Σ)
D. N_p(μ/n, Σ)

Jawaban: A. Mean sampel dari populasi normal multivariat berdistribusi normal dengan mean μ dan kovariansi Σ/n, karena variabilitas mean sampel mengecil seiring bertambahnya ukuran sampel.

54. Dibandingkan dengan matriks kovariansi populasi Σ, matriks data X memiliki perbedaan fundamental dalam hal…

A. keterkaitan dengan mean populasi
B. sifat simetris
C. kemampuan merepresentasikan variansi
D. ukuran dimensi dan isi elemen

Jawaban: D. Matriks data X berukuran n×p berisi nilai pengamatan mentah, sedangkan matriks kovariansi Σ berukuran p×p berisi variansi dan kovariansi yang dihitung dari data.

55. Distribusi yang mendasari inferensi tentang matriks kovariansi sampel S ketika sampel berasal dari populasi normal multivariat adalah…

A. distribusi Wishart
B. distribusi chi-square
C. distribusi F
D. distribusi t multivariat

Jawaban: A. Matriks kovariansi sampel S dikalikan (n-1) berdistribusi Wishart, yang merupakan generalisasi multivariat dari distribusi chi-square.

56. Dalam sampling dari populasi normal multivariat, x̄ dan S memiliki sifat yang sangat penting untuk inferensi. Sifat tersebut adalah…

A. x̄ dan S berkorelasi positif
B. x̄ dan S saling ortogonal secara geometris
C. x̄ dan S memiliki distribusi yang sama
D. x̄ dan S saling independen

Jawaban: D. Untuk sampel dari populasi normal multivariat, mean sampel x̄ dan matriks kovariansi sampel S terbukti saling independen, yang menjadi dasar bagi banyak uji statistik multivariat.

57. Sebuah penelitian ingin menguji apakah vektor mean populasi sama dengan suatu nilai tertentu. Statistik yang digunakan adalah T² Hotelling. Statistik ini merupakan analog multivariat dari…

A. statistik z
B. statistik chi-square
C. statistik F dua sampel
D. statistik t univariat

Jawaban: D. T² Hotelling adalah generalisasi dari statistik t univariat untuk kasus multivariat, digunakan untuk menguji hipotesis tentang vektor mean.

58. Jika (n-1)S berdistribusi Wishart dengan parameter Σ dan derajat bebas n-1, maka distribusi Wishart dapat dipandang sebagai perluasan multivariat dari distribusi chi-square. Perbedaan utama antara keduanya terletak pada…

A. dimensi parameter yang diestimasi
B. bentuk distribusi marginalnya
C. ketergantungan pada ukuran sampel
D. kemampuan menangani data normal

Jawaban: A. Distribusi chi-square menangani estimasi variansi univariat (skalar), sedangkan distribusi Wishart menangani estimasi matriks kovariansi (multivariat), sehingga melibatkan parameter berdimensi matriks.

59. Dari populasi normal multivariat diambil sampel berukuran n. Jika peneliti menghitung statistik T² untuk menguji H₀: μ = μ₀, maka setelah transformasi yang sesuai, distribusi dari T² adalah…

A. distribusi normal standar
B. distribusi F dengan derajat bebas p dan n-p
C. distribusi chi-square dengan derajat bebas p
D. distribusi t dengan derajat bebas n-1

Jawaban: B. Statistik T² Hotelling setelah dikalikan dengan (n-p)/(p(n-1)) akan berdistribusi F dengan derajat bebas p dan n-p, sehingga pengujian dapat dilakukan menggunakan tabel F.

60. Independensi antara x̄ dan S pada sampel dari normal multivariat tidak berlaku jika…

A. ukuran sampel kurang dari 30
B. matriks kovariansi populasi singular
C. populasi tidak berdistribusi normal multivariat
D. variabel-variabel dalam vektor random tidak berkorelasi

Jawaban: C. Sifat independensi x̄ dan S hanya terjamin ketika populasi berdistribusi normal multivariat; jika asumsi normalitas multivariat tidak terpenuhi, independensi tersebut tidak lagi berlaku.

61. Seorang peneliti menguji hipotesis H₀: μ = μ₀ menggunakan T² Hotelling. Jika nilai statistik T² yang dihitung lebih besar dari nilai kritis, maka keputusan yang tepat adalah…

A. menerima H₀ dan menyimpulkan tidak ada perbedaan signifikan
B. mengubah taraf signifikansi agar T² lebih kecil dari nilai kritis
C. menambah ukuran sampel karena hasil tidak konklusif
D. menolak H₀ dan menyimpulkan vektor mean berbeda dari μ₀

Jawaban: D. Daerah penolakan H₀ pada uji T² adalah ketika statistik uji melebihi nilai kritis pada taraf signifikansi α, yang menunjukkan bahwa vektor mean populasi berbeda signifikan dari nilai yang dihipotesiskan.

62. Perbedaan utama antara uji t univariat dan uji T² Hotelling dalam menguji mean adalah…

A. uji t menggunakan distribusi normal, T² menggunakan distribusi chi-square
B. uji t memerlukan matriks kovariansi, T² tidak memerlukannya
C. uji t untuk satu variabel, T² untuk beberapa variabel secara simultan
D. uji t hanya untuk sampel kecil, T² hanya untuk sampel besar

Jawaban: C. Uji t univariat menguji mean satu variabel, sedangkan T² Hotelling menguji vektor mean dari beberapa variabel secara simultan, mempertimbangkan kovariansi antar variabel.

63. Likelihood ratio test untuk menguji H₀: μ = μ₀ pada populasi normal multivariat dilakukan dengan…

A. menghitung selisih determinan matriks kovariansi sampel
B. membandingkan maksimum fungsi likelihood di bawah H₀ dan tanpa restriksi
C. menguji signifikansi setiap komponen mean secara terpisah
D. menghitung korelasi antara mean sampel dan mean populasi

Jawaban: B. Likelihood ratio test membandingkan nilai maksimum fungsi likelihood dengan restriksi H₀ terhadap nilai maksimum tanpa restriksi; rasio yang terlalu kecil mengindikasikan penolakan H₀.

64. PT Indo Pangan memproduksi makanan ringan dengan tiga indikator mutu: kadar air, kadar lemak, dan tingkat kerenyahan. Manajer mutu ingin menguji apakah rata-rata ketiga indikator tersebut memenuhi standar yang ditetapkan. Hipotesis nol yang tepat untuk pengujian ini adalah…

A. H₀: μ = μ₀
B. H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃
C. H₀: Σ = Σ₀
D. H₀: μ₁ = μ₀₁ dan μ₂ = μ₀₂ dan μ₃ = μ₀₃

Jawaban: A. Pengujian kesesuaian vektor mean terhadap standar menggunakan H₀: μ = μ₀, di mana μ₀ adalah vektor berisi nilai standar untuk ketiga indikator yang diuji secara simultan.

65. Dalam uji T² Hotelling satu sampel, daerah penolakan H₀ bergantung pada…

A. hanya pada ukuran sampel
B. nilai determinan matriks kovariansi sampel
C. taraf signifikansi α, dimensi p, dan ukuran sampel n
D. selisih antara mean sampel dan mean populasi saja

Jawaban: C. Nilai kritis uji T² ditentukan oleh distribusi F yang dipengaruhi oleh taraf signifikansi α, jumlah variabel p, dan ukuran sampel n melalui derajat bebas p dan n-p.

66. Daerah konfidensi simultan untuk vektor mean μ pada populasi normal multivariat berbentuk…

A. hiperbola yang mencakup semua kombinasi variabel
B. elipsoida yang berpusat di x̄
C. persegi panjang dalam ruang berdimensi p
D. lingkaran dengan jari-jari ditentukan oleh simpangan baku

Jawaban: B. Daerah konfidensi simultan untuk vektor mean membentuk elipsoida berdimensi p yang berpusat di mean sampel x̄, dengan orientasi dan ukuran ditentukan oleh matriks kovariansi S dan nilai kritis T².

67. Metode Bonferroni digunakan dalam inferensi vektor mean untuk…

A. memperbesar peluang menolak H₀ yang salah
B. mengontrol keseluruhan error rate dengan membagi α untuk tiap interval individu
C. meningkatkan presisi estimasi mean populasi
D. menghitung matriks kovariansi sampel yang tak bias

Jawaban: B. Metode Bonferroni membagi taraf signifikansi α secara merata ke setiap interval individu untuk menjaga keseluruhan tingkat kesalahan tipe I tidak melebihi α yang ditetapkan.

68. Peneliti pasar mengestimasi mean tiga variabel perilaku konsumen menggunakan interval konfidensi simultan dan interval konfidensi individu. Perbandingan antara kedua jenis interval tersebut menunjukkan bahwa interval simultan cenderung…

A. lebih lebar daripada interval individu
B. lebih sempit karena mempertimbangkan semua variabel
C. memiliki lebar yang sama tetapi bentuk berbeda
D. lebih tepat untuk satu variabel saja

Jawaban: A. Interval konfidensi simultan harus mencakup semua kombinasi linear mean dengan peluang konfidensi tertentu, sehingga lebih lebar dibandingkan interval individu yang tidak mengontrol keseluruhan error rate.

69. Seorang peneliti ingin mengestimasi vektor mean tiga variabel ekonomi secara simultan dengan tingkat kepercayaan 95%. Ia memilih antara daerah konfidensi simultan dan interval konfidensi individu dengan koreksi Bonferroni. Perbedaan utama antara kedua pendekatan tersebut adalah…

A. daerah simultan berbentuk elipsoida sedangkan Bonferroni menghasilkan interval terpisah
B. daerah simultan hanya berlaku untuk satu variabel sedangkan Bonferroni untuk banyak variabel
C. daerah simultan selalu lebih sempit daripada interval Bonferroni
D. daerah simultan tidak memerlukan asumsi normalitas sedangkan Bonferroni memerlukannya

Jawaban: A. Daerah konfidensi simultan untuk vektor mean berbentuk elipsoida yang mencakup semua kombinasi linear secara bersamaan, sedangkan metode Bonferroni menghasilkan interval terpisah untuk setiap komponen dengan membagi taraf signifikansi agar error rate keseluruhan terkontrol.

70. Dalam suatu studi kualitas udara, peneliti mengukur konsentrasi PM2.5, PM10, dan O₃ di lima lokasi. Ia menghitung interval konfidensi simultan 95% untuk vektor mean menggunakan metode T². Jika ia juga menghitung interval konfidensi individu 95% tanpa koreksi untuk masing-masing polutan, maka…

A. interval simultan hanya berlaku untuk satu polutan sedangkan interval individu untuk ketiganya
B. interval simultan sama persis dengan interval individu karena menggunakan data yang sama
C. interval simultan selalu lebih sempit karena memperhitungkan kovariansi
D. interval simultan cenderung lebih lebar daripada interval individu tanpa koreksi

Jawaban: D. Interval konfidensi simultan menggunakan persentil distribusi T² yang memperhitungkan seluruh komponen secara bersama, sehingga lebih lebar daripada interval individu tanpa koreksi yang hanya menggunakan persentil t univariat dan tidak mengontrol error rate simultan.

71. PT Agro Lestari membandingkan efektivitas dua jenis pupuk pada tanaman padi. Dari 30 petak yang diberi pupuk A dan 30 petak pupuk B, diukur tiga variabel: tinggi tanaman, jumlah anakan, dan berat gabah. Peneliti ingin menguji apakah vektor mean kedua kelompok sama. Uji statistik yang tepat digunakan adalah…

A. uji t berpasangan untuk masing-masing variabel secara terpisah
B. MANOVA satu arah dengan dua kelompok
C. uji T² Hotelling dua sampel independen
D. uji T² Hotelling satu sampel pada selisih antar kelompok

Jawaban: C. Untuk membandingkan dua vektor mean dari dua populasi independen dengan beberapa variabel respons, uji T² Hotelling dua sampel independen merupakan prosedur yang tepat karena menguji kesamaan vektor mean secara simultan.

72. Dalam uji T² dua sampel independen, asumsi matriks kovariansi homogen mensyaratkan bahwa…

A. matriks kovariansi masing-masing populasi adalah matriks identitas
B. kedua populasi memiliki vektor mean yang sama
C. kedua populasi memiliki matriks kovariansi yang sama
D. matriks kovariansi gabungan bernilai nol

Jawaban: C. Uji T² dua sampel independen mengasumsikan bahwa kedua populasi memiliki matriks kovariansi yang identik, sehingga matriks kovariansi gabungan dapat digunakan untuk mengestimasi Σ secara bersama.

73. Sebuah klinik rehabilitasi mengukur kekuatan otot pasien sebelum dan sesudah program terapi pada tiga kelompok otot. Untuk menguji efektivitas program, peneliti menghitung selisih pengukuran sebelum dan sesudah, lalu menguji apakah vektor mean selisih sama dengan nol. Prosedur ini dikenal sebagai…

A. uji T² sampel berpasangan
B. MANOVA satu arah pengukuran berulang
C. uji T² dua sampel independen
D. uji Box's M pada selisih pasangan

Jawaban: A. Uji T² sampel berpasangan diterapkan pada vektor selisih antara dua pengukuran pada subjek yang sama, menguji hipotesis bahwa vektor mean selisih adalah nol, analog dengan uji t berpasangan univariat.

74. Perbedaan mendasar antara uji T² dua sampel independen dan uji T² sampel berpasangan terletak pada…

A. jumlah variabel yang diuji dalam vektor mean
B. asumsi normalitas yang mendasari distribusi sampling
C. bentuk distribusi nol dari statistik uji yang digunakan
D. struktur data dan ketergantungan antar dua kelompok pengamatan

Jawaban: D. Uji T² independen digunakan untuk dua kelompok yang tidak berpasangan, sedangkan uji T² berpasangan diterapkan ketika pengamatan pada kedua kondisi berasal dari subjek yang sama sehingga terdapat ketergantungan antar pasangan data.

75. PT Elektronika Prima menguji daya tahan dua merek baterai dengan mengukur tiga parameter: tegangan, arus, dan kapasitas pada 20 sampel masing-masing merek. Sebelum melakukan uji T² dua sampel, peneliti perlu memeriksa apakah matriks kovariansi kedua populasi sama. Uji yang sesuai untuk keperluan ini adalah…

A. uji sferisitas Mauchly
B. uji T² Hotelling satu sampel
C. uji likelihood ratio untuk satu matriks kovariansi
D. uji Box's M

Jawaban: D. Uji Box's M secara spesifik digunakan untuk menguji kesamaan beberapa matriks kovariansi populasi, sehingga tepat untuk memeriksa asumsi homogenitas matriks kovariansi sebelum uji T² dua sampel.

76. Seorang peneliti pendidikan membandingkan nilai ujian matematika, fisika, dan kimia siswa dari tiga metode pembelajaran yang berbeda. Ia ingin menguji apakah vektor mean ketiga kelompok sama secara simultan. Metode analisis yang paling tepat adalah…

A. tiga uji t independen terpisah dengan koreksi Bonferroni
B. MANOVA satu arah
C. uji T² Hotelling untuk setiap pasangan metode
D. analisis korelasi kanonik antar metode

Jawaban: B. MANOVA satu arah merupakan perluasan ANOVA untuk menguji kesamaan beberapa vektor mean dari k populasi secara simultan, sehingga tepat untuk membandingkan tiga metode pada tiga variabel respons sekaligus.

77. Statistik Wilks' Lambda dalam MANOVA didefinisikan sebagai…

A. rasio trace matriks within terhadap trace matriks total
B. jumlah kuadrat antar kelompok dibagi jumlah kuadrat dalam kelompok
C. selisih antara determinan matriks between dan matriks within
D. rasio determinan matriks within terhadap determinan matriks total

Jawaban: D. Wilks' Lambda adalah kriteria uji dalam MANOVA yang dihitung sebagai rasio determinan matriks variasi dalam kelompok (within) terhadap determinan matriks variasi total, mengukur proporsi variansi yang tidak dijelaskan oleh perbedaan kelompok.

78. Dalam MANOVA, dekomposisi variasi total menjadi variasi antar kelompok dan variasi dalam kelompok dilakukan dalam bentuk…

A. vektor mean masing-masing kelompok
B. koefisien korelasi parsial antar variabel
C. matriks jumlah kuadrat dan perkalian silang
D. nilai eigen dari matriks korelasi gabungan

Jawaban: C. Dekomposisi variasi dalam MANOVA dinyatakan dalam bentuk matriks jumlah kuadrat dan perkalian silang (SSCP), di mana matriks total didekomposisi menjadi matriks antar kelompok (between) dan matriks dalam kelompok (within).

79. PT Farmasi Sehat membandingkan efektivitas empat formulasi obat pada tiga indikator klinis. Peneliti menggunakan MANOVA dan memperoleh nilai Wilks' Lambda yang sangat kecil. Kesimpulan yang tepat adalah…

A. tidak ada perbedaan signifikan antar vektor mean keempat formulasi
B. matriks kovariansi keempat kelompok tidak homogen
C. terdapat indikasi kuat perbedaan vektor mean antar formulasi
D. asumsi normalitas multivariat tidak terpenuhi

Jawaban: C. Wilks' Lambda yang kecil menunjukkan bahwa variasi dalam kelompok relatif kecil dibandingkan variasi total, yang berarti perbedaan antar kelompok besar, sehingga terdapat indikasi kuat bahwa vektor mean antar formulasi berbeda signifikan.

80. Perbedaan utama antara ANOVA satu arah dan MANOVA satu arah adalah…

A. ANOVA menguji mean satu variabel sedangkan MANOVA menguji vektor mean beberapa variabel sekaligus
B. ANOVA menggunakan distribusi F sedangkan MANOVA menggunakan distribusi t
C. ANOVA memerlukan asumsi normalitas sedangkan MANOVA tidak
D. ANOVA hanya untuk dua kelompok sedangkan MANOVA untuk lebih dari dua kelompok

Jawaban: A. MANOVA memperluas ANOVA dengan menguji beberapa variabel dependen secara simultan dalam satu analisis, sehingga hipotesis nolnya adalah kesamaan vektor mean dari beberapa populasi, bukan hanya mean satu variabel.

81. Seorang peneliti ingin menguji hipotesis bahwa matriks kovariansi populasi sama dengan matriks tertentu Σ₀. Statistik uji yang digunakan melibatkan…

A. selisih antara trace matriks kovariansi sampel dan trace Σ₀
B. determinan dan trace dari estimasi matriks kovariansi di bawah H₀ dan tanpa restriksi
C. rasio variansi terbesar terhadap variansi terkecil dalam matriks kovariansi sampel
D. korelasi parsial antar semua pasangan variabel dalam matriks kovariansi

Jawaban: B. Uji hipotesis untuk satu matriks kovariansi menggunakan statistik likelihood ratio yang membandingkan estimasi di bawah H₀ (Σ₀) dan estimasi tak terbatas (S), melibatkan determinan dan trace dari kedua matriks tersebut.

82. PT Manufaktur Presisi memiliki tiga pabrik yang memproduksi komponen dengan empat spesifikasi kualitas. Manajer ingin menguji apakah matriks kovariansi antar spesifikasi sama di ketiga pabrik. Uji statistik yang paling sesuai adalah…

A. uji Box's M untuk kesamaan beberapa matriks kovariansi
B. uji sferisitas Mauchly pada data gabungan
C. uji T² Hotelling untuk masing-masing pabrik
D. uji likelihood ratio untuk satu matriks kovariansi pada setiap pabrik

Jawaban: A. Uji Box's M dirancang khusus untuk menguji hipotesis kesamaan matriks kovariansi dari beberapa populasi, sehingga tepat untuk membandingkan matriks kovariansi empat spesifikasi di tiga pabrik secara simultan.

83. Dalam uji hipotesis untuk satu matriks kovariansi H₀: Σ = Σ₀, statistik likelihood ratio membandingkan…

A. vektor mean sampel dengan vektor mean populasi di bawah H₀
B. matriks kovariansi sampel S dengan matriks Σ₀ yang dihipotesiskan
C. matriks korelasi sampel dengan matriks korelasi populasi
D. nilai eigen matriks kovariansi sampel dengan nilai eigen Σ₀

Jawaban: B. Statistik uji likelihood ratio untuk satu matriks kovariansi membandingkan estimasi likelihood maksimum tanpa restriksi (menggunakan S) dengan likelihood di bawah H₀ (menggunakan Σ₀), sehingga intinya adalah perbandingan antara S dan Σ₀.

84. Uji Box's M untuk kesamaan beberapa matriks kovariansi sangat sensitif terhadap…

A. perbedaan vektor mean antar populasi
B. penyimpangan dari asumsi normalitas multivariat
C. ukuran sampel yang terlalu besar pada salah satu populasi
D. adanya korelasi parsial yang tinggi antar variabel

Jawaban: B. Uji Box's M mengasumsikan data berasal dari distribusi normal multivariat, dan cukup sensitif terhadap pelanggaran asumsi ini, sehingga penyimpangan dari normalitas dapat menyebabkan penolakan H₀ yang bukan karena perbedaan matriks kovariansi melainkan karena non-normalitas.

85. PT Manufaktur Presisi menduga adanya perubahan struktur dependensi antar spesifikasi kualitas setelah penerapan sistem kontrol baru. Untuk menguji apakah matriks kovariansi populasi sama dengan matriks tertentu Σ₀, statistik uji yang digunakan melibatkan perbandingan antara…

A. determinan matriks kovariansi sampel dengan determinan Σ₀…
B. trace matriks kovariansi sampel dengan trace Σ₀…
C. determinan matriks kovariansi sampel yang dibagi Σ₀ dengan nilai eigen dari S…
D. variansi setiap spesifikasi secara individual dengan elemen diagonal Σ₀…

Jawaban: A. Uji hipotesis H₀: Σ = Σ₀ pada satu populasi menggunakan statistik likelihood ratio yang membandingkan determinan matriks kovariansi sampel S dengan determinan matriks kovariansi populasi yang dihipotesiskan Σ₀. Statistik ini didasarkan pada rasio kemungkinan maksimum di bawah H₀ dan tanpa H₀, yang pada akhirnya melibatkan proporsi antara determinan kedua matriks tersebut.

86. Model sferik pada matriks kovariansi mengasumsikan bahwa…

A. setiap variabel memiliki variansi berbeda dan semua korelasi nol
B. matriks kovariansi berbentuk σ²I
C. matriks kovariansi berbentuk diagonal dengan elemen tidak seragam
D. matriks kovariansi memiliki korelasi sempurna antar semua variabel

Jawaban: B. Sferik berarti variansi semua variabel homogen dan antar variabel tidak berkorelasi, yaitu Σ = σ²I.

87. Uji sferisitas Mauchly digunakan untuk menguji apakah matriks kovariansi ortogonal ternormalisasi proporsional terhadap matriks identitas. Uji ini banyak diterapkan pada…

A. uji hipotesis vektor mean satu populasi
B. analisis regresi linear berganda
C. analisis variansi pengukuran berulang
D. uji korelasi parsial

Jawaban: C. Sferisitas adalah asumsi dalam ANOVA pengukuran berulang; uji Mauchly memeriksa apakah matriks kovariansi variabel-variabel transformed memenuhi syarat ini.

88. Seorang peneliti menemukan bahwa matriks kovariansi dari empat variabel membentuk struktur blok diagonal, di mana dua variabel pertama membentuk satu blok dan dua variabel terakhir membentuk blok lain. Interpretasi dari pola ini adalah…

A. semua variabel memiliki variansi yang sama besar
B. variabel dalam satu blok saling berkorelasi, tetapi independen terhadap variabel di blok lain
C. kovariansi antar semua pasangan variabel sama dengan nol
D. matriks kovariansi bersifat singular

Jawaban: B. Struktur blok diagonal menunjukkan bahwa variabel dalam satu blok saling berkorelasi, tetapi variabel antar blok tidak berkorelasi sehingga saling independen.

89. Berbeda dengan homogenitas variansi yang hanya memperhatikan kesamaan variansi antar populasi, sferisitas juga mensyaratkan…

A. seluruh korelasi antar variabel sama dengan nol
B. setiap variabel berdistribusi normal multivariat
C. variansi semua variabel sama dan korelasi antar variabel sama dengan nol
D. jumlah variabel yang diukur sama banyak pada setiap populasi

Jawaban: C. Sferisitas lebih kuat ketimbang homogenitas variansi: selain variansi sama, juga tidak ada korelasi antar variabel, menghasilkan Σ = σ²I.

90. PT Medika Raya menganalisis hubungan antara usia pasien, tekanan darah, dan kadar kolesterol. Peneliti menyusun matriks simetris berukuran 3×3 yang elemennya merupakan koefisien korelasi Pearson antar setiap pasangan variabel. Matriks ini dikenal sebagai…

A. matriks kovariansi
B. matriks korelasi
C. matriks korelasi parsial
D. matriks jarak Mahalanobis

Jawaban: B. Matriks korelasi berisi koefisien korelasi Pearson antar pasangan variabel, berbeda dengan matriks kovariansi yang berisi variansi dan kovariansi mentah.

91. Korelasi parsial antara X dan Y setelah mengontrol variabel Z secara konseptual setara dengan…

A. kovariansi antara X dan Y dibagi variansi Z
B. korelasi antara X dan Y tanpa melibatkan Z sama sekali
C. rerata dari korelasi X-Z dan Y-Z
D. korelasi antara residu regresi X pada Z dan residu regresi Y pada Z

Jawaban: D. Korelasi parsial mengukur hubungan linear X dan Y dengan menghilangkan pengaruh Z pada keduanya, yang diperoleh dengan mengkorelasikan residu regresi masing-masing terhadap Z.

92. Uji signifikansi terhadap koefisien korelasi populasi nol dapat menggunakan transformasi Fisher. Keuntungan utama transformasi Fisher adalah…

A. mendekati distribusi normal dengan variansi stabil sehingga interval konfidensi lebih akurat
B. mengubah arah hubungan dari positif menjadi negatif
C. meniadakan kebutuhan asumsi normalitas bivariat
D. meningkatkan nilai koefisien korelasi agar lebih mudah signifikan

Jawaban: A. Transformasi Fisher menstabilkan variansi dan membuat distribusi statistik mendekati normal, sehingga memungkinkan interval konfidensi dan uji signifikansi yang lebih akurat.

93. Tim peneliti PT Agro Nusantara menghitung koefisien korelasi antara curah hujan dan produktivitas padi sebesar 0,75. Namun, setelah mengontrol variabel dosis pupuk, koefisien korelasi parsial turun menjadi 0,20. Kesimpulan yang paling logis adalah…

A. produktivitas padi hanya dipengaruhi oleh dosis pupuk tanpa keterlibatan curah hujan
B. curah hujan tidak memiliki hubungan linear dengan produktivitas padi
C. koefisien korelasi 0,75 tidak signifikan
D. dosis pupuk berperan sebagai variabel perancu yang memperkuat korelasi semu antara curah hujan dan produktivitas

Jawaban: D. Penurunan drastis korelasi setelah mengontrol pupuk menunjukkan bahwa hubungan awal sebagian besar dijelaskan oleh variabel ketiga, mengindikasikan korelasi semu.

94. Dalam konteks analisis korelasi, perbedaan utama antara korelasi Pearson dan korelasi Spearman terletak pada…

A. korelasi Pearson mengukur hubungan linear berdasar nilai aktual, sedangkan Spearman berdasar peringkat
B. korelasi Pearson hanya dapat diterapkan pada data bivariat, sedangkan Spearman untuk multivariat
C. korelasi Spearman selalu menghasilkan nilai yang lebih besar dari Pearson
D. korelasi Pearson tidak memerlukan asumsi apa pun, sedangkan Spearman memerlukan normalitas

Jawaban: A. Pearson mengukur keeratan hubungan linear dari data asli, sementara Spearman mengukur hubungan monotonik berdasarkan urutan peringkat data.

95. Seorang analis ingin mengetahui seberapa erat hubungan linear antara nilai ujian masuk (X) dan indeks prestasi kumulatif (Y) secara bersama-sama dengan variabel jam belajar (Z). Statistik yang menggambarkan keeratan hubungan antara Y dengan gabungan X dan Z adalah…

A. koefisien korelasi Pearson
B. koefisien korelasi parsial
C. koefisien korelasi ganda
D. koefisien korelasi semi parsial

Jawaban: C. Korelasi ganda mengukur hubungan linear antara satu variabel dependen dengan sekumpulan variabel independen secara simultan.

96. Koefisien determinasi R² diperoleh dari 0,64 pada suatu model regresi dengan dua prediktor. Interpretasi yang tepat adalah…

A. setiap kenaikan satu satuan prediktor akan meningkatkan variabel dependen sebesar 0,64
B. rata-rata pengaruh kedua prediktor terhadap variabel dependen adalah 0,64
C. korelasi antara variabel dependen dan masing-masing prediktor adalah 0,64
D. 64% variansi variabel dependen mampu dijelaskan oleh kedua prediktor secara bersama-sama

Jawaban: D. R² adalah kuadrat korelasi ganda, mengukur proporsi variansi variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh model regresi.

97. Korelasi semi parsial berbeda dari korelasi parsial dalam hal variabel pengontrol hanya dikeluarkan dari…

A. komponen galat baku estimasi
B. variabel dependen saja dalam model regresi
C. salah satu variabel saja, bukan dari kedua variabel yang dikorelasikan
D. penghitungan matriks kovariansi

Jawaban: C. Pada korelasi semi parsial, pengaruh variabel pengontrol dihilangkan hanya pada satu variabel (mis. hanya pada prediktor), sementara korelasi parsial mengontrol pada kedua variabel.

98. Dalam penelitian pendidikan, seorang dosen menghitung korelasi antara skor ujian akhir (Y) dan lama belajar (X₁) dengan mengontrol pengaruh motivasi (X₂) hanya pada X₁. Analisis ini tepat disebut…

A. korelasi Pearson antara Y dan residu regresi X₂ terhadap X₁
B. korelasi parsial antara Y dan X₁ dengan mengontrol X₂
C. korelasi ganda antara Y dengan X₁ dan X₂
D. korelasi semi parsial antara Y dan X₁ dengan mengontrol X₂ pada X₁

Jawaban: D. Korelasi semi parsial menghilangkan pengaruh variabel kontrol hanya pada satu sisi hubungan, cocok untuk mengukur kontribusi unik prediktor setelah membersihkan tumpang-tindih dengan prediktor lain.

99. Manakah pernyataan yang benar mengenai hubungan antara koefisien korelasi dan koefisien determinasi…

A. koefisien determinasi adalah kuadrat dari koefisien korelasi ganda dan selalu bernilai positif
B. koefisien determinasi dapat bernilai negatif jika korelasi berlawanan arah
C. jumlah koefisien korelasi dan koefisien determinasi selalu sama dengan satu
D. koefisien determinasi tidak ada hubungan matematis dengan koefisien korelasi

Jawaban: A. R² adalah kuadrat korelasi ganda R, sehingga nilainya selalu non-negatif, terlepas dari arah hubungan linear.

100. PT Finansial Analitika memodelkan hubungan antara return saham (Y) dengan tiga indikator ekonomi makro: inflasi (X₁), suku bunga (X₂), dan nilai tukar (X₃). Peneliti menghitung korelasi semi parsial antara Y dan X₁ setelah mengontrol pengaruh X₂ dan X₃ hanya pada X₁. Informasi utama yang diperoleh dari koefisien ini adalah…

A. kontribusi unik X₁ dalam menjelaskan variansi Y di luar kontribusi X₂ dan X₃
B. hubungan linear murni antara Y dan X₁ tanpa memperhitungkan variabel lain
C. proporsi variansi Y yang dijelaskan oleh X₁, X₂, dan X₃ secara simultan
D. hubungan antara X₁ dengan Y setelah mengontrol X₂ dan X₃ pada kedua variabel

Jawaban: A. Korelasi semi parsial dengan kontrol hanya pada prediktor mengukur tambahan variansi Y yang mampu dijelaskan oleh X₁ setelah kontribusi X₂ dan X₃ diperhitungkan.

SATS4421 — Metode Statistika Multivariat

Latihan Tambahan dengan AI