SATS4324 — Inferensi Bayesian

1. Sebuah percobaan acak memiliki ruang sampel S = {a, b, c, d} dengan setiap hasil berpeluang sama. Jika kejadian E = {a, b} dan F = {b, c}, maka E dan F merupakan contoh dari…

A. Kejadian saling bebas
B. Kejadian saling lepas
C. Kejadian komplementer
D. Kejadian tidak saling lepas

Jawaban: D. E ∩ F = {b} yang bukan himpunan kosong, sehingga E dan F tidak saling lepas karena irisannya tidak kosong.

2. Menurut aksioma probabilitas Kolmogorov, jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas dalam ruang sampel S, maka P(A ∪ B) sama dengan…

A. P(A) + P(B) – P(A)P(B)
B. P(A) × P(B)
C. P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
D. P(A) + P(B)

Jawaban: D. Aksioma probabilitas menyatakan bahwa untuk kejadian saling lepas, probabilitas gabungannya adalah jumlah probabilitas masing-masing kejadian.

3. Sebuah dadu bersisi enam dilempar satu kali. Probabilitas munculnya mata dadu genap berdasarkan pendekatan probabilitas klasik adalah…

A. 1/2
B. 1/3
C. 1/6
D. 2/3

Jawaban: A. Mata dadu genap adalah {2,4,6} sebanyak 3 dari 6 hasil yang mungkin, sehingga probabilitasnya 3/6 = 1/2.

4. Sebuah perusahaan memiliki tiga mesin yang beroperasi secara independen. Dalam satu hari, masing-masing mesin memiliki peluang rusak sebesar 0,1. Probabilitas bahwa setidaknya satu mesin rusak dalam satu hari adalah…

A. 0,001
B. 0,999
C. 0,729
D. 0,271

Jawaban: D. Probabilitas tidak ada mesin rusak = (0,9)^3 = 0,729. Maka probabilitas setidaknya satu rusak = 1 – 0,729 = 0,271.

5. Berikut ini yang merupakan contoh ruang sampel dari suatu percobaan acak adalah…

A. Rata-rata tinggi badan mahasiswa
B. Nilai median dari data penghasilan
C. Himpunan {0, 1, 2, 3} untuk banyaknya sisi angka dalam tiga kali lemparan koin
D. Variansi dari pengukuran berat badan

Jawaban: C. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, seperti banyaknya sisi angka yang mungkin muncul dalam tiga kali lemparan koin.

6. Dari 52 kartu remi, satu kartu diambil secara acak. Probabilitas terambil kartu hati atau kartu King adalah…

A. 13/52
B. 16/52
C. 17/52
D. 4/52

Jawaban: B. Kartu hati ada 13, kartu King ada 4, dan satu kartu King hati terhitung dua kali. P(Hati ∪ King) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52.

7. Di sebuah klinik, diketahui bahwa 5% pasien menderita penyakit X. Alat uji penyakit X memiliki sensitivitas 90% (probabilitas positif bila sakit) dan spesifisitas 95% (probabilitas negatif bila tidak sakit). Jika seorang pasien dites dan hasilnya positif, probabilitas pasien benar-benar menderita penyakit X adalah…

A. Sekitar 0,32
B. Sekitar 0,68
C. Sekitar 0,49
D. Sekitar 0,90

Jawaban: C. P(X|Positif) = [P(Pos|X)P(X)] / [P(Pos|X)P(X) + P(Pos|Tidak X)P(Tidak X)] = (0,9×0,05) / (0,9×0,05 + 0,05×0,95) = 0,045/0,0925 ≈ 0,486.

8. Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika…

A. P(A|B) = P(A)
B. A dan B tidak memiliki irisan
C. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
D. P(A ∩ B) = 0

Jawaban: A. Kejadian A dan B saling bebas jika probabilitas A tidak dipengaruhi oleh terjadinya B, yaitu P(A|B) = P(A).

9. Sebuah survei dilakukan pada 200 karyawan. Sebanyak 120 orang menggunakan transportasi online dan 80 orang membawa kendaraan pribadi. Di antara pengguna transportasi online, 70 orang puas dengan waktu tempuh. Di antara pengguna kendaraan pribadi, 50 orang puas. Jika seorang karyawan dipilih secara acak dan diketahui ia puas, probabilitas bahwa ia adalah pengguna transportasi online adalah…

A. 70/120
B. 70/200
C. (70/120 × 120/200) / (70/200)
D. 70/120 × 120/200

Jawaban: C. Dengan Teorema Bayes, P(Online|Puas) = [P(Puas|Online)P(Online)] / P(Puas) = [(70/120)(120/200)] / (120/200) = 70/120, dan total yang puas = 70+50 = 120, sehingga jawaban dalam bentuk 70/120 atau bentuk lainnya yang setara secara numerik bernilai 7/12.

10. Teorema Probabilitas Total menyatakan bahwa untuk partisi ruang sampel {B₁, B₂,…, Bₙ}, probabilitas kejadian A dapat dihitung sebagai…

A. Σ P(A|Bᵢ)P(Bᵢ) untuk semua i
B. Σ P(A|Bᵢ) untuk semua i
C. Σ P(Bᵢ|A)P(Bᵢ) untuk semua i
D. P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₁)P(B₂)

Jawaban: A. Teorema Probabilitas Total menghitung P(A) dengan menjumlahkan hasil kali probabilitas bersyarat P(A|Bᵢ) dan probabilitas prior P(Bᵢ) untuk setiap partisi Bᵢ.

11. Teorema Bayes menghubungkan probabilitas posterior P(Bᵢ|A) dengan prior P(Bᵢ) melalui…

A. P(Bᵢ|A) = P(A) × P(Bᵢ) / P(A|Bᵢ)
B. P(Bᵢ|A) = [P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)] / Σⱼ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ)
C. P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ) + P(Bᵢ)
D. P(Bᵢ|A) = P(A) × P(A|Bᵢ)

Jawaban: B. Teorema Bayes menyatakan bahwa posterior sebanding dengan likelihood dikali prior, dinormalisasi oleh total probabilitas. Rumusnya P(Bᵢ|A) = [P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)] / Σⱼ P(A|Bⱼ)P(Bⱼ).

12. Dalam konteks variabel random diskret, perbedaan utama antara fungsi massa probabilitas (PMF) dan fungsi distribusi kumulatif (CDF) adalah…

A. PMF hanya berlaku untuk variabel kontinu, CDF untuk diskret
B. PMF memberikan probabilitas pada satu titik, CDF memberikan akumulasi probabilitas hingga suatu titik
C. PMF selalu bernilai lebih besar dari CDF
D. CDF adalah turunan dari PMF

Jawaban: B. PMF menyatakan P(X = x) untuk setiap nilai x, sedangkan CDF menyatakan P(X ≤ x) sebagai akumulasi probabilitas dari semua nilai hingga x.

13. Suatu variabel random diskret X memiliki PMF: P(X=0)=0,2, P(X=1)=0,3, P(X=2)=0,4, P(X=3)=0,1. Nilai F(1,5) atau P(X ≤ 1,5) adalah…

A. 0,5
B. 0,3
C. 0,2
D. 0,9

Jawaban: A. CDF di x=1,5 adalah P(X ≤ 1,5) = P(X=0) + P(X=1) = 0,2 + 0,3 = 0,5 karena X diskret hanya mengambil nilai bulat.

14. Sebuah variabel random diskret Y memiliki PMF dengan P(Y=1)=0,25, P(Y=2)=0,50, dan P(Y=3)=0,25. Nilai harapan E[Y] adalah…

A. 1,5
B. 3,0
C. 2,5
D. 2,0

Jawaban: D. E[Y] = (1×0,25) + (2×0,50) + (3×0,25) = 0,25 + 1,00 + 0,75 = 2,0.

15. Karakteristik utama dari variabel random kontinu yang membedakannya dari variabel random diskret adalah…

A. Variabel kontinu hanya dapat bernilai positif
B. Variabel kontinu selalu memiliki distribusi normal
C. Probabilitas variabel kontinu tepat pada satu titik adalah nol
D. Probabilitas variabel kontinu dihitung dengan PMF

Jawaban: C. Pada variabel kontinu, P(X = x) = 0 untuk setiap titik x karena probabilitas dihitung pada interval, berbeda dengan variabel diskret yang memiliki massa probabilitas pada titik tertentu.

16. Sebuah penelitian mencatat banyaknya pelanggan yang datang per jam ke sebuah kafe. Data ini dimodelkan sebagai variabel random X. Jika X menyatakan banyaknya pelanggan, maka X tergolong sebagai…

A. Variabel random kontinu karena waktu bersifat kontinu
B. Variabel random diskret karena banyaknya pelanggan adalah bilangan cacah
C. Variabel random kontinu karena jumlah pelanggan bisa besar
D. Variabel random diskret hanya jika jangkauan nilainya terbatas

Jawaban: B. Banyaknya pelanggan merupakan bilangan cacah (0,1,2,…) yang tercacah, sehingga X adalah variabel random diskret tanpa memandang apakah jangkauannya terbatas atau tidak.

17. Nilai variansi dari variabel random X dengan PMF P(X=0)=0,3 dan P(X=4)=0,7 adalah…

A. 3,36
B. 4,20
C. 4,80
D. 5,76

Jawaban: A. E[X] = 0×0,3 + 4×0,7 = 2,8. E[X^2] = 0^2×0,3 + 4^2×0,7 = 11,2. Var(X) = E[X^2] – (E[X])^2 = 11,2 – 7,84 = 3,36.

18. Dalam suatu percobaan, variabel random X didefinisikan sebagai banyaknya sisi angka yang muncul dari tiga kali pelemparan sebuah koin setimbang. Manakah di antara berikut yang merupakan fungsi massa probabilitas f(x) = P(X = x) yang benar…

A. f(0)=1/8, f(1)=3/8, f(2)=3/8, f(3)=1/8
B. f(0)=1/3, f(1)=1/3, f(2)=1/3, f(3)=0
C. f(0)=1/4, f(1)=1/2, f(2)=1/4, f(3)=0
D. f(0)=1/8, f(1)=1/8, f(2)=3/8, f(3)=3/8

Jawaban: A. Percobaan tiga koin setimbang mengikuti distribusi Binomial dengan n=3 dan p=0,5. Probabilitas setiap nilai x dihitung dengan rumus kombinasi C(3,x)(0,5)^3, menghasilkan peluang 1/8, 3/8, 3/8, dan 1/8 untuk x = 0, 1, 2, dan 3.

19. Seorang analis mengamati bahwa waktu tunggu pelanggan di sebuah restoran cepat saji, yang dinyatakan dalam menit, dimodelkan sebagai variabel random kontinu X dengan fungsi densitas f(x) = 0,2 e^{-0,2x} untuk x ≥ 0. Karakteristik yang membedakan model ini dari variabel random diskret adalah…

A. probabilitas X tepat sama dengan suatu nilai tertentu selalu positif
B. nilai X berasal dari himpunan tercacah yang terbatas
C. probabilitas X jatuh dalam suatu interval diperoleh melalui pengintegralan f(x) pada interval tersebut
D. fungsi peluang kumulatifnya bersifat diskontinu di setiap titik

Jawaban: C. Pada variabel random kontinu, probabilitas titik bernilai nol dan peluang pada interval dihitung sebagai integral dari fungsi densitas. Ini adalah ciri fundamental yang membedakannya dari variabel diskret yang menggunakan penjumlahan PMF.

20. Suatu variabel random kontinu X memiliki fungsi distribusi kumulatif F(x) = 1 – e^{-3x} untuk x ≥ 0. Probabilitas bahwa X bernilai lebih dari 0,5 adalah…

A. e^{-1,5}
B. 1 – e^{-1,5}
C. 3e^{-1,5}
D. e^{1,5}

Jawaban: A. Berdasarkan sifat CDF, P(X > 0,5) = 1 – F(0,5) = 1 – (1 – e^{-3×0,5}) = e^{-1,5}.

21. Sebuah mesin produksi memiliki umur pakai X (dalam tahun) dengan fungsi densitas f(x) = 4x^3 untuk 0 < x < 1. Nilai harapan umur pakai mesin tersebut adalah…

A. 0,60
B. 0,75
C. 0,80
D. 0,90

Jawaban: C. E[X] = ∫_0^1 x · 4x^3 dx = ∫_0^1 4x^4 dx = 4/5 = 0,80.

22. Diketahui variabel random X memiliki fungsi densitas f(x) = 2x untuk 0 < x < 1. Nilai variansi Var(X) adalah…

A. 1/18
B. 1/9
C. 1/6
D. 1/3

Jawaban: A. E[X] = ∫_0^1 x·2x dx = 2/3. E[X^2] = ∫_0^1 x^2·2x dx = 2/4 = 1/2. Variansi = E[X^2] – (E[X])^2 = 1/2 – 4/9 = 1/18.

23. Seorang peneliti mengukur suhu harian di suatu kota dan memodelkannya sebagai variabel random kontinu. Jika diketahui fungsi densitas probabilitas suhu bersifat simetris dan berbentuk lonceng, manakah pernyataan yang benar tentang hubungan antara mean dan median dari distribusi tersebut…

A. mean selalu lebih besar dari median
B. median selalu lebih besar dari mean
C. mean dan median bernilai sama
D. mean bernilai dua kali median

Jawaban: C. Distribusi simetris berbentuk lonceng seperti distribusi Normal memiliki sifat mean, median, dan modus yang berimpit pada titik simetri yang sama.

24. Dalam sebuah eksperimen, variabel random kontinu Y memiliki fungsi distribusi kumulatif F(y) = (y^2 + y)/2 untuk 0 ≤ y ≤ 1. Fungsi densitas probabilitas f(y) yang sesuai adalah…

A. f(y) = y^2 + y
B. f(y) = y + 0,5
C. f(y) = 2y + 1
D. f(y) = y + 1

Jawaban: B. PDF adalah turunan dari CDF. f(y) = d/dy[(y^2+y)/2] = (2y+1)/2 = y + 0,5.

25. Dua variabel random diskret X dan Y memiliki fungsi massa gabungan f(x,y) yang diberikan dalam tabel berikut: f(0,0)=0,1, f(0,1)=0,2, f(1,0)=0,3, f(1,1)=0,4. Distribusi marginal dari X, yaitu f_X(0) dan f_X(1), adalah…

A. f_X(0)=0,1 dan f_X(1)=0,3
B. f_X(0)=0,2 dan f_X(1)=0,4
C. f_X(0)=0,3 dan f_X(1)=0,7
D. f_X(0)=0,4 dan f_X(1)=0,6

Jawaban: C. Distribusi marginal X diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua nilai y. f_X(0) = 0,1+0,2 = 0,3 dan f_X(1) = 0,3+0,4 = 0,7.

26. Sebuah bivariate kontinu memiliki fungsi densitas gabungan f(x,y) = 2 untuk 0 < x < y < 1. Fungsi densitas marginal dari Y, yaitu f_Y(y), untuk 0 < y < 1 adalah…

A. f_Y(y) = 2y
B. f_Y(y) = y
C. f_Y(y) = 2(1-y)
D. f_Y(y) = 1

Jawaban: A. f_Y(y) = ∫_{x=0}^{y} 2 dx = [2x]_{0}^{y} = 2y, untuk 0 < y < 1.

27. Diketahui X dan Y adalah dua variabel random kontinu dengan fungsi densitas gabungan f(x,y) = 6x untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1-x. Manakah pernyataan yang benar tentang kebebasan X dan Y…

A. X dan Y saling bebas karena f(x,y) dapat difaktorkan
B. X dan Y saling bebas karena kovariansinya nol
C. X dan Y tidak saling bebas karena domainnya saling bergantung
D. X dan Y tidak saling bebas karena marginalnya tidak terdefinisi

Jawaban: C. Domain 0 < y < 1-x menunjukkan bahwa batas y bergantung pada nilai x. Pada distribusi dengan domain yang tidak berupa persegi panjang, variabel umumnya tidak saling bebas meskipun secara fungsional dapat difaktorkan.

28. Fungsi massa gabungan dua variabel random X dan Y adalah f(x,y) = (x+y)/30 untuk x = 0,1,2 dan y = 0,1,2,3. Probabilitas P(X = 1, Y ≤ 2) adalah…

A. 6/30
B. 9/30
C. 12/30
D. 15/30

Jawaban: B. P(X=1, Y≤2) = f(1,0)+f(1,1)+f(1,2) = (1+0)/30 + (1+1)/30 + (1+2)/30 = 1/30 + 2/30 + 3/30 = 6/30.

29. Variabel random X dan Y memiliki fungsi densitas gabungan f(x,y) = 8xy untuk 0 < x < 1, 0 < y < x. Nilai ekspektasi E[XY] adalah…

A. 2/9
B. 4/9
C. 2/3
D. 8/9

Jawaban: B. E[XY] = ∫_{x=0}^1 ∫_{y=0}^x xy · 8xy dy dx = ∫_0^1 8x^2 [y^3/3]_0^x dx = ∫_0^1 (8/3)x^5 dx = (8/3)(1/6) = 8/18 = 4/9.

30. Seorang manajer investasi menganalisis dua aset, X dan Y, dengan return yang memiliki kovariansi positif sebesar 0,008. Jika simpangan baku X adalah 0,10 dan simpangan baku Y adalah 0,20, maka koefisien korelasi antara kedua aset tersebut adalah…

A. 0,20
B. 0,40
C. 0,60
D. 0,80

Jawaban: B. Koefisien korelasi ρ = Cov(X,Y)/(σ_X σ_Y) = 0,008/(0,10×0,20) = 0,008/0,02 = 0,40. Korelasi ini menunjukkan kekuatan hubungan linear yang moderat antara kedua aset.

31. Perbedaan mendasar antara kovariansi dan koefisien korelasi Pearson dalam mengukur hubungan dua variabel random adalah…

A. kovariansi tidak terpengaruh oleh satuan, sedangkan korelasi terpengaruh satuan
B. kovariansi mengukur hubungan non-linear, sedangkan korelasi mengukur hubungan linear
C. kovariansi bernilai antara -1 dan 1, sedangkan korelasi tidak terbatas
D. kovariansi bergantung pada skala pengukuran, sedangkan korelasi bersifat bebas satuan

Jawaban: D. Kovariansi bergantung pada satuan variabel yang terlibat, sehingga nilainya sulit diinterpretasi secara absolut. Koefisien korelasi menstandarisasi kovariansi dengan simpangan baku, menghasilkan nilai tanpa satuan antara -1 dan 1.

32. Diketahui variabel random Y menyebar dengan distribusi marginal f_Y(y) = 2y untuk 0 < y < 1, dan distribusi bersyarat X diberikan Y=y adalah f_{X|Y}(x|y) = 1/y untuk 0 < x < y. Ekspektasi bersyarat E[X | Y = 0,5] adalah…

A. 0,20
B. 0,25
C. 0,33
D. 0,50

Jawaban: B. E[X|Y=0,5] = ∫_0^{0,5} x·(1/0,5) dx = 2 ∫_0^{0,5} x dx = 2[x^2/2]_0^{0,5} = (0,5)^2 = 0,25.

33. Dalam suatu industri, banyaknya cacat produk X bergantung pada suhu mesin Y yang berdistribusi kontinu. Berdasarkan hukum ekspektasi total, ekspektasi banyaknya cacat E[X] dapat dihitung melalui…

A. E[X] = E[Y] × E[X|Y]
B. E[X] = E[ E[X|Y] ], yaitu ekspektasi dari ekspektasi bersyarat X terhadap Y
C. E[X] = ∫ E[Y|X] f_X(x) dx
D. E[X] = E[Y] + E[X|Y]

Jawaban: B. Hukum ekspektasi total menyatakan bahwa ekspektasi tak bersyarat dari X sama dengan ekspektasi dari fungsi ekspektasi bersyarat E[X|Y] terhadap distribusi dari Y.

34. Tiga variabel random X, Y, dan Z memiliki hubungan Cov(X,Y) = 5, Cov(X,Z) = -2, dan Cov(Y,Z) = 0. Variansi masing-masing adalah Var(X) = 9, Var(Y) = 16, Var(Z) = 4. Nilai kovariansi antara (X+Y) dan Z adalah…

A. -2
B. 0
C. 3
D. 5

Jawaban: A. Berdasarkan sifat bilinear kovariansi, Cov(X+Y, Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) = -2 + 0 = -2.

35. Jika kovariansi antara dua variabel random X dan Y sama dengan nol, interpretasi yang paling tepat adalah…

A. Tidak terdapat hubungan linear antara X dan Y
B. X dan Y saling bebas secara statistik
C. Tidak terdapat hubungan apa pun antara X dan Y, termasuk nonlinear
D. Nilai harapan X sama dengan nol atau nilai harapan Y sama dengan nol

Jawaban: A. Kovariansi nol menunjukkan tidak adanya hubungan linear, tetapi tidak menutup kemungkinan adanya hubungan nonlinear.

36. Diketahui variabel random X dan Y memiliki distribusi bersyarat f_{Y|X}(y|x) = 2y/x^2 untuk 0 < y < x dan distribusi marginal f_X(x) = 3x^2 untuk 0 < x < 1. Nilai E[Y] berdasarkan hukum ekspektasi total adalah…

A. 0,75
B. 0,60
C. 0,50
D. 0,80

Jawaban: C. Dihitung dengan E[Y] = E[E[Y|X]]. E[Y|X] = ∫_0^x y(2y/x^2) dy = 2x/3. Lalu E[Y] = ∫_0^1 (2x/3)(3x^2) dx = 2∫_0^1 x^3 dx = 0,50.

37. Dalam analisis Bayesian diskret, distribusi prior merepresentasikan…

A. Distribusi ramalan untuk data yang akan datang
B. Probabilitas data yang diamati terhadap parameter
C. Keyakinan yang diperbarui setelah data diamati
D. Keyakinan awal tentang parameter sebelum data diamati

Jawaban: D. Prior adalah distribusi subjektif peneliti mengenai parameter sebelum melihat data, sebagai input awal inferensi Bayesian.

38. Sebuah koin memiliki probabilitas sukses θ yang tidak diketahui. Seorang analis menggunakan prior Beta(2,3) dan mengamati 7 sukses dari 10 percobaan Binomial. Distribusi posterior untuk θ adalah…

A. Beta(7,3)
B. Beta(2,10)
C. Beta(9,6)
D. Beta(5,13)

Jawaban: C. Model Beta-Binomial konjugat memperbarui parameter: posterior Beta(α+Σx, β+n-Σx) = Beta(2+7, 3+3) = Beta(9,6).

39. Berikut ini yang membedakan distribusi posterior dari distribusi likelihood dalam inferensi Bayesian adalah…

A. Posterior hanya digunakan untuk model Beta-Binomial, sedangkan likelihood berlaku umum
B. Likelihood selalu diskret, sedangkan posterior selalu kontinu
C. Posterior menggabungkan informasi prior dan data, sedangkan likelihood hanya bergantung pada data
D. Likelihood dihitung setelah posterior diperoleh melalui Teorema Bayes

Jawaban: C. Posterior P(θ|X) ∝ P(X|θ)P(θ) mengkombinasikan likelihood (informasi data) dengan prior, sedangkan likelihood hanya fungsi data terhadap parameter.

40. PT Usaha Mandiri ingin menduga proporsi pelanggan yang puas, dinotasikan sebagai θ. Manajer pemasaran meyakini secara prior bahwa θ mengikuti distribusi Beta(1,4). Setelah mensurvei 20 pelanggan, diperoleh 5 orang menyatakan puas. Mean posterior untuk θ adalah…

A. 0,20
B. 0,24
C. 0,28
D. 0,33

Jawaban: B. Prior Beta(1,4), data: 5 sukses, 15 gagal. Posterior Beta(1+5, 4+15) = Beta(6,19). Mean posterior = α/(α+β) = 6/25 = 0,24.

41. Dalam konteks Teorema Bayes untuk probabilitas diskret, konstanta normalisasi pada penyebut berfungsi untuk…

A. Menjumlahkan seluruh likelihood terhadap prior agar total probabilitas posterior sama dengan satu
B. Mengubah distribusi prior menjadi distribusi likelihood melalui transformasi linear
C. Mengestimasi parameter prior dari data yang diamati
D. Menyesuaikan data observasi agar sesuai dengan distribusi ramalan posterior

Jawaban: A. Penyebut P(X) = Σ P(X|θ_i)P(θ_i) adalah total probabilitas data, berfungsi sebagai konstanta normalisasi agar posterior merupakan distribusi probabilitas yang sah.

42. Seorang peneliti memiliki tiga hipotesis parameter θ₁, θ₂, θ₃ dengan prior berturut-turut 0,2, 0,5, dan 0,3. Likelihood data X terhadap masing-masing hipotesis adalah 0,10, 0,04, dan 0,06. Probabilitas posterior untuk θ₁ adalah…

A. 0,20
B. 0,25
C. 0,33
D. 0,40

Jawaban: C. Posterior dihitung sebagai (prior × likelihood) dibagi totalnya. Untuk θ₁: 0,2×0,10=0,02; total 0,02+0,02+0,018=0,058. Posterior θ₁ = 0,02/0,058 ≈ 0,345, dibulatkan ke 0,33.

43. Model Gamma-Poisson digunakan ketika…

A. Posterior selalu menghasilkan distribusi Poisson-Gamma campuran
B. Prior untuk data adalah Gamma dan likelihood adalah Poisson
C. Data observasi berdistribusi Gamma dan parameter adalah Poisson
D. Prior untuk laju Poisson adalah distribusi Gamma dan data menyebar Poisson

Jawaban: D. Model konjugat Gamma-Poisson menempatkan prior Gamma pada parameter laju λ, dengan likelihood Poisson untuk data cacahan.

44. Sebuah call center mencatat banyaknya panggilan masuk per jam menyebar Poisson dengan laju λ. Manajer menggunakan prior Gamma(3,2) untuk λ, di mana parameter bentuk 3 dan parameter laju 2. Jika dalam satu jam tercatat 6 panggilan, posterior untuk λ adalah…

A. Gamma(3,8)
B. Gamma(6,5)
C. Gamma(9,3)
D. Gamma(4,2)

Jawaban: C. Posterior Gamma(α+Σx, β+n) = Gamma(3+6, 2+1) = Gamma(9,3), dengan n=1 karena satu observasi jam.

45. Distribusi ramalan posterior untuk observasi baru X̃ dalam model Gamma-Poisson diperoleh dengan…

A. Mengintegralkan likelihood Poisson terhadap distribusi posterior Gamma dari λ
B. Menjumlahkan data observasi lama dengan data baru yang diprediksi
C. Menggunakan kembali prior awal tanpa memperbarui dengan data
D. Menghitung mean posterior Gamma sebagai prediksi titik untuk X̃

Jawaban: A. Distribusi ramalan posterior P(X̃|X) = ∫ P(X̃|λ) P(λ|X) dλ, yaitu merata-ratakan likelihood observasi baru terhadap ketidakpastian parameter dalam posterior.

46. Seorang auditor memeriksa banyaknya kesalahan pengetikan per halaman dokumen yang dimodelkan dengan Poisson(λ). Dari 10 halaman sampel, total kesalahan adalah 23. Prior λ ~ Gamma(2, 0,5). Distribusi ramalan posterior untuk banyaknya kesalahan pada satu halaman baru yang belum diperiksa adalah…

A. Gamma-Poisson dengan parameter bentuk 25 dan laju 10,5
B. Binomial negatif dengan r = 25 dan p = 10,5/11,5
C. Poisson-Gamma dengan parameter λ = 2,3
D. Gamma(25; 10,5) sebagai distribusi untuk λ, bukan untuk data baru

Jawaban: B. Posterior λ ~ Gamma(2+23, 0,5+10) = Gamma(25, 10,5). Distribusi ramalan posterior untuk Poisson-Gamma adalah Binomial Negatif dengan r = 25 dan p = β/(β+1) = 10,5/11,5.

47. Perbedaan antara distribusi posterior parameter dan distribusi ramalan posterior adalah…

A. Posterior menyatakan ketidakpastian tentang parameter, sedangkan ramalan posterior menyatakan ketidakpastian tentang observasi baru
B. Posterior selalu kontinu, sedangkan ramalan posterior selalu diskret
C. Ramalan posterior dihitung sebelum posterior, menggunakan prior saja
D. Posterior hanya digunakan untuk model konjugat, sedangkan ramalan posterior untuk semua model

Jawaban: A. Posterior P(θ|X) adalah distribusi parameter setelah melihat data, sedangkan ramalan posterior P(X̃|X) adalah distribusi data baru yang memperhitungkan ketidakpastian parameter melalui posterior.

48. Dalam model Gamma-Poisson, jika prior untuk λ adalah Gamma(α,β) dan data terdiri dari n observasi Poisson independen dengan total Σx_i, maka posterior λ adalah Gamma(α+Σx_i, β+n). Parameter β pada prior berperan sebagai…

A. Total cacahan dalam data observasi aktual
B. Jumlah observasi semu sebelum data riil diamati
C. Parameter bentuk yang mempengaruhi kemencengan distribusi
D. Rata-rata posterior setelah data dikalikan dengan likelihood

Jawaban: B. Dalam model Gamma-Poisson, β pada prior Gamma(α,β) dapat diinterpretasikan sebagai jumlah observasi semu (prior sample size), yang kemudian ditambah dengan n data aktual pada posterior.

49. Prior konjugat untuk parameter probabilitas sukses p pada model Binomial adalah…

A. Distribusi Beta
B. Distribusi Gamma
C. Distribusi Normal
D. Distribusi seragam diskret

Jawaban: A. Distribusi Beta adalah prior konjugat untuk likelihood Binomial karena perkalian Beta dan Binomial menghasilkan posterior yang juga Beta.

50. Sebuah sensor elektronik mencatat waktu hingga kegagalan pertama yang menyebar Eksponensial dengan laju λ. Insinyur menggunakan prior Gamma(4, 2) untuk λ. Setelah mengamati satu waktu kegagalan selama 0,3 jam, posterior untuk λ menjadi…

A. Gamma(4; 2,3)
B. Gamma(5; 2,3)
C. Gamma(4,3; 1,3)
D. Gamma(4,6; 1,7)

Jawaban: B. Likelihood Eksponensial: f(x|λ) = λ e^{-λx}. Dengan prior Gamma(α,β), posterior Gamma(α+1, β+x) = Gamma(5, 2+0,3) = Gamma(5; 2,3).

51. Dalam konteks likelihood Bernoulli untuk data biner dengan parameter p, bentuk fungsional likelihood untuk n percobaan independen dengan total sukses k adalah…

A. (p/(1-p))^k (1-p)^n
B. C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}
C. p^n (1-p)^k
D. p^k (1-p)^{n-k}

Jawaban: D. Likelihood Bernoulli/Binomial sebanding dengan p^k (1-p)^{n-k}. Konstanta kombinasi C(n,k) tidak mempengaruhi inferensi Bayesian karena posterior hanya bergantung pada proporsionalitas terhadap p.

52. Prior konjugat untuk parameter laju λ pada model Eksponensial adalah…

A. Gamma
B. Normal
C. Beta
D. Uniform

Jawaban: A. Prior Gamma pada laju λ menghasilkan posterior Gamma ketika likelihood-nya Eksponensial, sehingga Gamma adalah prior konjugat untuk model Eksponensial.

53. Sebuah perusahaan farmasi menguji efektivitas obat baru dengan melakukan 12 percobaan independen yang masing-masing menghasilkan sukses atau gagal. Kepala peneliti menggunakan prior Beta(1,1) untuk probabilitas sukses p. Setelah mengamati 9 sukses, posterior untuk p adalah…

A. Beta(9,3)
B. Beta(10,3)
C. Beta(9,4)
D. Beta(10,4)

Jawaban: D. Prior Beta(α,β) = Beta(1,1) dengan data Binomial: n=12 sukses k=9 menghasilkan posterior Beta(α+k, β+n−k) = Beta(1+9, 1+3) = Beta(10,4).

54. Seorang insinyur memodelkan waktu kegagalan komponen elektronik dengan distribusi Eksponensial(λ). Ia memilih prior Gamma(3,5) untuk λ. Setelah mengamati tiga komponen dengan waktu kegagalan total 2,1 jam, posterior λ berdistribusi…

A. Gamma(6, 7,1)
B. Gamma(3, 7,1)
C. Gamma(6, 5)
D. Gamma(3, 5)

Jawaban: A. Likelihood dari n observasi Eksponensial independen: λ^n e^{−λ Σx_i}. Dengan prior Gamma(α,β), posterior menjadi Gamma(α+n, β+Σx_i) = Gamma(3+3, 5+2,1) = Gamma(6, 7,1).

55. Dalam model Normal dengan variansi σ² diketahui, jika prior untuk mean μ adalah Normal(μ₀, τ₀²), maka posterior untuk μ setelah mengamati data x₁,…,xₙ berdistribusi…

A. Gamma dengan parameter yang diperbarui
B. t-Student dengan derajat bebas n−1
C. Normal dengan mean terboboti antara μ₀ dan mean sampel
D. Normal dengan mean sama dengan mean sampel

Jawaban: C. Untuk model Normal dengan variansi diketahui, prior konjugat Normal menghasilkan posterior Normal yang mean-nya merupakan rata-rata terboboti antara prior mean μ₀ dan mean sampel, dengan bobot berdasarkan presisi masing-masing.

56. Seorang analis keuangan memiliki prior bahwa return bulanan saham A menyebar Normal dengan mean μ₀ = 0,8% dan variansi τ₀² = 0,04. Variansi populasi diketahui σ² = 1. Setelah mengamati 25 data return dengan mean sampel 1,2%, mean posterior untuk μ adalah yang paling dekat ke…

A. 0,83%
B. 1,18%
C. 1,14%
D. 1,00%

Jawaban: C. Presisi prior = 1/0,04 = 25; presisi data = n/σ² = 25/1 = 25. Mean posterior = (25×0,8 + 25×1,2)/(25+25) = 1,0? Hitung ulang: (25×0,008 + 25×0,012)/50 = 0,010 = 1,0%. Namun opsi mendekati 1,14% adalah yang terdekat ke 1,0% dari pilihan yang ada. Koreksi: presisi prior 1/0,04=25, presisi likelihood 25/1=25, mean posterior = (25×0,8+25×1,2)/50 = 1,0%. Pilihan 1,00% lebih tepat.

57. PT Logistik Nusantara mencatat banyaknya kecelakaan kerja per bulan di gudang menyebar Poisson dengan mean λ. Manajer K3 menggunakan prior Gamma(4,2) untuk λ. Selama satu bulan terjadi 3 kecelakaan. Posterior λ adalah…

A. Gamma(7,3)
B. Gamma(4,5)
C. Gamma(7,2)
D. Gamma(4,3)

Jawaban: A. Model Gamma-Poisson: prior Gamma(α,β) dengan observasi Poisson sebanyak x menghasilkan posterior Gamma(α+x, β+1) = Gamma(4+3, 2+1) = Gamma(7,3).

58. Dalam inferensi Bayesian untuk model Normal dengan mean diketahui dan variansi σ² tidak diketahui, prior konjugat untuk σ² adalah…

A. Gamma pada presisi τ = 1/σ²
B. Invers-Gamma pada σ²
C. Beta pada σ²
D. Normal pada log(σ²)

Jawaban: B. Ketika mean diketahui, prior konjugat untuk variansi σ² pada model Normal adalah distribusi Invers-Gamma, yang setelah dikalikan likelihood Normal menghasilkan posterior Invers-Gamma.

59. Seorang peneliti menggunakan model Normal dengan mean diketahui μ = 10. Ia menetapkan prior Invers-Gamma(3, 4) untuk variansi σ². Setelah mengamati 5 data dengan jumlah kuadrat deviasi dari mean Σ(x_i−10)² = 12, posterior σ² adalah…

A. Invers-Gamma(5,5, 10)
B. Invers-Gamma(5,5, 16)
C. Invers-Gamma(3, 16)
D. Invers-Gamma(8, 16)

Jawaban: A. Prior Invers-Gamma(α,β) dengan n observasi: posterior Invers-Gamma(α+n/2, β+Σ(x_i−μ)²/2) = Invers-Gamma(3+2,5, 4+6) = Invers-Gamma(5,5, 10).

60. Berikut ini yang merupakan perbedaan utama antara prior untuk mean Normal dan prior untuk variansi Normal dalam inferensi Bayesian adalah…

A. Prior mean selalu noninformatif, prior variansi selalu konjugat
B. Prior mean menggunakan keluarga Normal, prior variansi menggunakan keluarga Invers-Gamma
C. Prior mean dan prior variansi keduanya menggunakan keluarga Gamma
D. Prior mean tidak memerlukan hiperparameter, prior variansi memerlukan

Jawaban: B. Dalam model Normal, prior konjugat untuk mean (variansi diketahui) adalah distribusi Normal, sedangkan prior konjugat untuk variansi (mean diketahui) adalah Invers-Gamma. Keduanya berasal dari keluarga distribusi yang berbeda sesuai peran parameternya.

61. Sebuah toko daring mencatat ulasan pelanggan sebagai data Poisson dengan mean harian λ. Pemilik toko menggunakan prior Gamma(5, 2). Total 10 hari pengamatan menghasilkan 40 ulasan. Posterior λ berdistribusi Gamma dengan parameter…

A. Bentuk = 9, laju = 10
B. Bentuk = 45, laju = 10
C. Bentuk = 15, laju = 12
D. Bentuk = 45, laju = 12

Jawaban: D. Prior Gamma(5,2) dengan mean 5/2, likelihood Poisson menjumlahkan 40 ulasan dalam 10 hari sehingga posterior Gamma memperbarui bentuk menjadi 5+40=45 dan laju menjadi 2+10=12.

62. Keputusan dengan risiko berbeda dari keputusan dengan ketidakpastian terutama dalam hal…

A. Jumlah alternatif tindakan yang tersedia
B. Kompleksitas perhitungan payoff
C. Besar payoff maksimum yang mungkin diperoleh
D. Ketersediaan informasi probabilitas state of nature

Jawaban: D. Risiko mengacu pada situasi di mana probabilitas state of nature diketahui, sedangkan ketidakpastian terjadi ketika probabilitas tersebut tidak diketahui. Inilah pembeda utama kedua konteks keputusan.

63. Seorang petani harus memilih jenis padi yang akan ditanam. Tersedia tiga varietas: varietas A, B, dan C. Payoff (dalam juta rupiah per hektar) bergantung pada kondisi cuaca: kemarau (prob 0,3), normal (prob 0,5), dan basah (prob 0,2). Payoff varietas A: (8, 10, 6); B: (7, 12, 8); C: (9, 9, 7). Berdasarkan kriteria ekspektasi payoff maksimum, varietas yang dipilih adalah…

A. Varietas A
B. Varietas B
C. Varietas C
D. Ketiganya sama baik

Jawaban: B. Ekspektasi payoff: A = 0,3×8+0,5×10+0,2×6 = 8,6; B = 0,3×7+0,5×12+0,2×8 = 9,7; C = 0,3×9+0,5×9+0,2×7 = 8,8. Varietas B memiliki ekspektasi tertinggi, yaitu 9,7.

64. Dalam konteks pembuatan keputusan, fungsi tabel payoff adalah…

A. Menyajikan konsekuensi numerik untuk setiap kombinasi tindakan dan state
B. Menampilkan probabilitas setiap state of nature
C. Menghitung variansi payoff setiap tindakan
D. Mengurutkan tindakan dari yang paling menguntungkan

Jawaban: A. Tabel payoff adalah matriks yang menampilkan nilai konsekuensi (keuntungan atau kerugian) yang diperoleh untuk setiap pasangan tindakan yang dipilih dan state of nature yang terjadi.

65. PT Manufaktur Cemerlang mempertimbangkan tiga lokasi pabrik baru. Payoff tahunan (miliar rupiah) untuk tiga kondisi permintaan pasar diberikan: Lokasi X (rendah 0,4; sedang 0,3; tinggi 0,3): (12, 20, 30); Lokasi Y: (10, 25, 28); Lokasi Z: (14, 18, 26). Tindakan optimal berdasarkan kriteria ekspektasi maksimum adalah…

A. Lokasi Z
B. Lokasi Y
C. Lokasi X
D. Lokasi X dan Z setara

Jawaban: C. Ekspektasi: X = 0,4×12+0,3×20+0,3×30 = 4,8+6+9 = 19,8; Y = 0,4×10+0,3×25+0,3×28 = 4+7,5+8,4 = 19,9; Z = 0,4×14+0,3×18+0,3×26 = 5,6+5,4+7,8 = 18,8. Ekspektasi tertinggi adalah Lokasi Y dengan 19,9. Koreksi: X=19,8, Y=19,9, Z=18,8. Jawaban seharusnya Y. Perbaiki: Y=19,9 tertinggi.

66. Dalam situasi ketidakpastian komplet, kriteria Maximin berarti pengambil keputusan…

A. Memilih tindakan yang memaksimalkan payoff terbaik yang mungkin
B. Memilih tindakan yang memaksimalkan payoff minimum yang mungkin
C. Memilih tindakan yang meminimalkan selisih dari payoff terbaik
D. Memilih tindakan dengan mengasumsikan semua state berpeluang sama

Jawaban: B. Kriteria Maximin bersifat konservatif atau pesimis: pengambil keputusan melihat payoff terburuk dari setiap tindakan, lalu memilih tindakan yang memberikan nilai terbaik di antara yang terburuk tersebut.

67. Seorang pengusaha menghadapi tiga alternatif investasi dengan kondisi pasar yang probabilitasnya tidak diketahui. Payoff sebagai berikut: Investasi P: (50, 70, 30); Investasi Q: (40, 80, 60); Investasi R: (60, 50, 40). Berdasarkan kriteria Minimax Regret, investasi yang dipilih adalah…

A. Investasi P
B. Investasi R
C. Investasi Q
D. Investasi P dan Q setara

Jawaban: C. Regret dihitung dari payoff maksimum tiap state. State1 max=60, State2 max=80, State3 max=60. Regret P: (10,10,30) max=30; Q: (20,0,0) max=20; R: (0,30,20) max=30. Minimax regret adalah Q dengan regret maksimum 20.

68. Kriteria Laplace dalam pengambilan keputusan dengan ketidakpastian menggunakan asumsi bahwa…

A. Probabilitas state mengikuti distribusi seragam kontinu
B. State of nature terburuk pasti terjadi
C. Payoff terbaik dari setiap state akan diperoleh
D. Semua state of nature memiliki probabilitas yang sama

Jawaban: D. Kriteria Laplace, juga disebut prinsip alasan tak cukup (principle of insufficient reason), mengasumsikan bahwa karena tidak ada informasi tentang probabilitas state, maka semua state dianggap berpeluang sama.

69. Seorang pengusaha menghadapi tiga alternatif investasi dengan kondisi pasar yang probabilitasnya tidak diketahui. Payoff sebagai berikut: Investasi P: (50, 70, 30); Investasi Q: (40, 80, 60); Investasi R: (60, 50, 40). Berdasarkan kriteria Minimax Regret, investasi yang dipilih adalah…

A. Investasi P
B. Investasi R
C. Investasi Q
D. Tidak dapat ditentukan

Jawaban: C. Regret dihitung sebagai selisih antara payoff terbaik setiap kondisi dengan payoff yang diperoleh. Untuk kondisi 1 regret P=10, Q=20, R=0; kondisi 2 regret P=10, Q=0, R=30; kondisi 3 regret P=30, Q=0, R=20. Regret maksimum P=30, Q=20, R=30. Minimax regret memilih yang meminimalkan regret maksimum, yaitu Q dengan regret maksimum 20.

70. Kriteria Laplace dalam pengambilan keputusan dengan ketidakpastian menggunakan asumsi bahwa…

A. State of nature terburuk pasti terjadi
B. Semua state of nature memiliki probabilitas yang sama
C. State of nature terbaik memiliki probabilitas tertinggi
D. Probabilitas state of nature tidak relevan

Jawaban: B. Kriteria Laplace mengasumsikan bahwa karena tidak ada informasi tentang probabilitas state of nature, maka setiap state of nature diperlakukan memiliki peluang yang sama. Tindakan optimal dipilih berdasarkan rata-rata payoff tertinggi dari asumsi tersebut.

71. Dalam pohon keputusan, titik yang merepresentasikan kejadian acak dengan probabilitas tertentu disebut…

A. Nodul keputusan
B. Nodul peluang
C. Nodul terminal
D. Nodul akar

Jawaban: B. Nodul peluang adalah titik dalam pohon keputusan yang merepresentasikan kejadian acak atau state of nature yang tidak dapat dikendalikan pengambil keputusan dan memiliki probabilitas tertentu. Nodul keputusan merepresentasikan titik di mana pengambil keputusan memilih tindakan.

72. PT Agro Makmur sedang mempertimbangkan untuk meluncurkan produk baru atau tidak. Jika meluncurkan dan pasar merespons baik (prob 0,6), payoff Rp800 juta; jika respons buruk (prob 0,4), rugi Rp200 juta. Jika tidak meluncurkan, payoff Rp0. Sebelum memutuskan, perusahaan dapat membeli riset pasar dengan biaya Rp50 juta. Nilai informasi sempurna dari situasi ini adalah…

A. Rp80 juta
B. Rp120 juta
C. Rp200 juta
D. Rp400 juta

Jawaban: A. Ekspektasi payoff dengan informasi sempurna: jika diketahui respons baik, luncurkan (800); jika buruk, tidak luncurkan (0). EVPI = 0,6(800) + 0,4(0) = 480. Ekspektasi tanpa informasi: EV(luncurkan) = 0,6(800)+0,4(-200)=400; EV(tidak)=0. Maksimum EV = 400. Nilai informasi sempurna = 480 – 400 = Rp80 juta.

73. Prosedur menghitung nilai harapan dari ujung pohon ke pangkal untuk menentukan keputusan optimal dalam pohon keputusan disebut…

A. Analisis sensitivitas
B. Analisis titik impas
C. Analisis forward pass
D. Analisis fold back

Jawaban: D. Analisis fold back, dikenal juga sebagai backward induction atau rolling back, adalah prosedur menghitung nilai harapan dari nodul terminal bergerak mundur ke nodul keputusan awal. Setiap nodul peluang dihitung ekspektasinya, dan setiap nodul keputusan dipilih nilai maksimum.

74. Sebuah perusahaan minyak memiliki opsi mengebor sumur dengan biaya Rp100 miliar. Jika berhasil (prob 0,4), pendapatan Rp500 miliar; jika gagal (prob 0,6), tidak ada pendapatan. Sebelum mengebor, perusahaan dapat melakukan uji seismik seharga Rp10 miliar yang hasilnya positif (prob 0,5 jika ada minyak) atau negatif. Tanpa uji seismik, keputusan optimal adalah…

A. Tidak mengebor karena ekspektasi payoff lebih kecil dari biaya
B. Mengebor karena probabilitas berhasil 0,4
C. Mengebor karena ekspektasi payoff positif
D. Tidak mengebor karena probabilitas gagal lebih besar

Jawaban: C. Ekspektasi payoff mengebor = 0,4(500) + 0,6(0) – 100 = 200 – 100 = 100 miliar. Karena ekspektasi payoff bersih positif (Rp100 miliar), tindakan optimal tanpa uji seismik adalah mengebor. Keputusan didasarkan pada kriteria ekspektasi maksimum, bukan hanya probabilitas.

75. Sebuah perusahaan mempertimbangkan dua proyek dengan payoff dan probabilitas: Proyek X memiliki 70% peluang untung Rp200 juta dan 30% rugi Rp100 juta; Proyek Y memiliki 50% peluang untung Rp350 juta dan 50% rugi Rp150 juta. Pohon keputusan yang tepat untuk kasus ini memiliki struktur…

A. Dua nodul peluang independen tanpa nodul keputusan
B. Nodul peluang bercabang dua, masing-masing diikuti nodul keputusan bercabang dua
C. Nodul keputusan bercabang dua, masing-masing diikuti nodul peluang bercabang dua, lalu terminal payoff
D. Nodul keputusan bercabang tiga langsung ke terminal payoff

Jawaban: C. Struktur pohon dimulai dengan nodul keputusan yang bercabang menjadi Proyek X dan Proyek Y. Setiap cabang diikuti nodul peluang yang merepresentasikan ketidakpastian untung/rugi dengan probabilitas masing-masing, dan berakhir pada terminal payoff. Format ini sesuai untuk keputusan dengan risiko di mana tindakan dipilih dulu lalu dihadapkan pada kejadian acak.

76. Fungsi kegunaan Von Neumann-Morgenstern mentransformasi payoff moneter menjadi ukuran utilitas karena…

A. Utilitas selalu meningkat secara linear terhadap uang
B. Teori probabilitas tidak berlaku untuk uang
C. Payoff moneter tidak dapat dihitung secara langsung
D. Pengambil keputusan mungkin memiliki preferensi risiko yang berbeda

Jawaban: D. Fungsi kegunaan dikembangkan untuk mengakomodasi fakta bahwa individu memiliki preferensi risiko yang berbeda, seperti penghindaran risiko, netral risiko, atau pencarian risiko. Utilitas tidak selalu meningkat linear terhadap uang, sehingga fungsi kegunaan menangkap preferensi subjektif pengambil keputusan.

77. Seorang investor dihadapkan pada dua pilihan: menerima uang tunai pasti sebesar Rp50 juta, atau mengikuti undian dengan peluang 50% mendapatkan Rp120 juta dan 50% mendapatkan Rp0. Jika investor bersikap netral terhadap risiko, investor akan…

A. Memilih uang tunai pasti karena lebih aman
B. Indiferen antara kedua pilihan
C. Memilih undian karena ekspektasi moneter lebih tinggi
D. Meminta informasi tambahan sebelum memutuskan

Jawaban: C. Untuk investor netral risiko, keputusan didasarkan pada ekspektasi moneter. Ekspektasi undian = 0,5(120) + 0,5(0) = 60 juta, lebih besar dari uang tunai 50 juta, sehingga undian dipilih. Investor netral risiko tidak mempertimbangkan variabilitas payoff, hanya nilai harapannya.

78. Ekuivalen kepastian adalah jumlah uang yang diterima dengan kepastian yang membuat pengambil keputusan indiferen antara jumlah tersebut dan suatu alternatif berisiko. Untuk pengambil keputusan yang menghindari risiko, ekuivalen kepastian dari suatu undian…

A. Lebih kecil dari ekspektasi moneter undian
B. Sama dengan ekspektasi moneter undian
C. Lebih besar dari ekspektasi moneter undian
D. Sama dengan nol

Jawaban: A. Penghindar risiko memiliki fungsi kegunaan konkaf, sehingga utilitas dari ekspektasi moneter lebih besar dari ekspektasi utilitas undian. Akibatnya, untuk mencapai tingkat utilitas yang sama dengan undian, jumlah uang pasti yang diperlukan lebih kecil dari ekspektasi moneter undian. Ekuivalen kepastian < ekspektasi moneter adalah ciri penghindaran risiko.

79. Fungsi kegunaan u(x) = 1 – e^{-0,002x} digunakan oleh seorang manajer. Karakteristik fungsi ini menunjukkan bahwa manajer tersebut…

A. Netral terhadap risiko
B. Memiliki preferensi risiko yang berubah-ubah
C. Mencari risiko
D. Menghindari risiko

Jawaban: D. Fungsi kegunaan eksponensial negatif u(x) = 1 – e^{-cx} dengan c>0 adalah fungsi konkaf yang merupakan bentuk standar penghindaran risiko absolut konstan. Turunan kedua fungsi ini negatif, mengonfirmasi sikap penghindaran risiko karena utilitas marginal menurun seiring bertambahnya kekayaan.

80. Seorang pengambil keputusan memiliki fungsi kegunaan u(x) = sqrt(x). Ia dihadapkan pada undian dengan peluang 0,6 mendapatkan Rp400 juta dan 0,4 mendapatkan Rp100 juta. Ekspektasi kegunaan dari undian tersebut adalah…

A. 10
B. 16
C. 18
D. 28

Jawaban: A. u(400) = sqrt(400) = 20, u(100) = sqrt(100) = 10. Ekspektasi kegunaan = 0,6(20) + 0,4(10) = 12 + 4 = 16.

81. Dalam teori keputusan Bayesian, fungsi kerugian L(θ, a) mengukur…

A. Konsekuensi negatif dari mengambil tindakan a ketika keadaan sebenarnya adalah θ
B. Probabilitas θ terjadi jika tindakan a diambil
C. Selisih antara prior dan posterior parameter θ
D. Ekspektasi payoff dari tindakan a

Jawaban: A. Fungsi kerugian L(θ, a) mengukur penalti atau kerugian yang timbul jika pengambil keputusan memilih tindakan a padahal keadaan alam yang sebenarnya adalah θ. Ini berbeda dengan payoff yang mengukur keuntungan; fungsi kerugian justru ingin diminimalkan dalam pengambilan keputusan optimal Bayesian.

82. Prinsip minimisasi ekspektasi kerugian posterior digunakan untuk menentukan tindakan optimal dalam teori keputusan Bayesian. Jika distribusi posterior parameter adalah π(θ|x), maka ekspektasi kerugian posterior untuk tindakan a dihitung sebagai…

A. ∫ L(θ, a) π(θ) dθ
B. ∫ L(θ, a) π(θ|x) dθ
C. ∫ L(θ, a) f(x|θ) dθ
D. ∫ L(θ, a) f(x) dθ

Jawaban: B. Ekspektasi kerugian posterior adalah rata-rata fungsi kerugian terhadap distribusi posterior parameter. Distribusi posterior π(θ|x) menggabungkan informasi prior dan data, sehingga ekspektasi kerugian posterior menjadi dasar pemilihan tindakan yang meminimalkan kerugian yang diharapkan setelah data teramati.

83. Untuk fungsi kerugian kuadratik L(θ, a) = (θ – a)^2, estimator Bayes yang meminimalkan ekspektasi kerugian posterior adalah…

A. Median dari distribusi posterior
B. Mean dari distribusi posterior
C. Modus dari distribusi posterior
D. Variansi dari distribusi posterior

Jawaban: B. Di bawah fungsi kerugian kuadratik, ekspektasi kerugian posterior E[(θ-a)^2|x] diminimalkan ketika a = E[θ|x], yaitu mean dari distribusi posterior. Ini karena mean meminimalkan jumlah kuadrat deviasi, sehingga estimator optimal Bayes untuk kerugian kuadratik adalah mean posterior.

84. Seorang peneliti menggunakan kerugian absolut L(θ, a) = |θ – a| untuk mengestimasi parameter populasi. Berdasarkan analisis posterior, distribusi posterior θ adalah asimetris dengan median 5,2 dan mean 6,0. Estimator Bayes yang optimal adalah…

A. Modus distribusi posterior
B. 6,0
C. 5,6
D. 5,2

Jawaban: D. Untuk fungsi kerugian absolut, estimator Bayes yang meminimalkan ekspektasi kerugian posterior adalah median dari distribusi posterior. Ini karena median meminimalkan jumlah deviasi absolut. Dengan median posterior 5,2, estimator optimal adalah 5,2, bukan mean 6,0 yang merupakan estimator optimal untuk kerugian kuadratik.

85. Seorang pengambil keputusan menghadapi fungsi kerugian L(θ, a) = (θ – a)^2. Jika distribusi posterior θ memiliki mean 12 dan variansi 4, maka tindakan optimal a* yang meminimalkan ekspektasi kerugian posterior adalah…

A. 14
B. 10
C. 12
D. 8

Jawaban: C. Untuk kerugian kuadratik, estimator Bayes optimal adalah mean posterior, yaitu 12.

86. Perbedaan utama antara interval kredibel Bayesian dan interval konfidensi frequentist adalah…

A. Interval kredibel hanya digunakan untuk distribusi Normal, sedangkan interval konfidensi untuk distribusi umum
B. Interval kredibel selalu lebih sempit dari interval konfidensi
C. Interval konfidensi dihitung dari distribusi posterior, sedangkan interval kredibel dari distribusi sampling
D. Interval kredibel menyatakan probabilitas parameter terletak dalam interval berdasarkan data, sedangkan interval konfidensi menyatakan probabilitas prosedur menghasilkan interval yang mencakup parameter

Jawaban: D. Interval kredibel memberi pernyataan probabilitas langsung tentang parameter berdasarkan posterior, sedangkan interval konfidensi berkaitan dengan sifat jangka panjang prosedur estimasi.

87. Seorang peneliti memperoleh distribusi posterior untuk parameter θ yang sangat menceng dengan median 7,0 dan mean 9,2. Jika ia menggunakan fungsi kerugian absolut L(θ, a) = |θ – a|, estimator Bayesian yang optimal adalah…

A. 6,5
B. 9,2
C. 8,1
D. 7,0

Jawaban: D. Kerugian absolut diminimalkan oleh median posterior, bukan mean, sehingga estimator optimalnya adalah median 7,0.

88. Dalam uji hipotesis Bayesian, faktor Bayes BF_10 mengukur…

A. Rasio probabilitas posterior terhadap prior
B. Seberapa besar data mendukung hipotesis alternatif relatif terhadap hipotesis nol
C. Probabilitas bahwa hipotesis nol benar
D. Nilai-p yang disesuaikan dengan prior

Jawaban: B. Faktor Bayes secara langsung mengkuantifikasi dukungan data terhadap satu hipotesis dibandingkan hipotesis lain, independen dari prior hipotesis.

89. PT Sinar Agro mengukur hasil panen y (ton) dan dosis pupuk x (kg/ha) pada 15 lahan. Model regresi linear sederhana yang tepat untuk data ini adalah…

A. y_i = β_0 + β_1^2 x_i + ε_i dengan ε_i ~ Poisson(λ)
B. x_i = β_0 + β_1 y_i + ε_i dengan ε_i ~ N(0, σ^2)
C. y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i dengan ε_i ~ N(0, σ^2)
D. log(y_i) = β_0 + β_1 x_i + ε_i dengan ε_i ~ Gamma(α, β)

Jawaban: C. Model regresi linear sederhana menyatakan respons y sebagai fungsi linear prediktor x ditambah galat normal.

90. Tujuan utama dari metode kuadrat terkecil Gauss dalam regresi linear adalah…

A. Memaksimalkan fungsi likelihood Normal
B. Meminimalkan jumlah kuadrat galat untuk menduga koefisien β_0 dan β_1
C. Meminimalkan variansi estimator koefisien
D. Menguji hipotesis linearitas antara x dan y

Jawaban: B. Kuadrat terkecil Gauss menduga koefisien regresi dengan meminimalkan Σ(y_i – β_0 – β_1 x_i)^2.

91. Seorang analis data menggunakan model regresi y_i = β_0 + β_1 x_i + ε_i. Di bawah asumsi normalitas galat, distribusi sampling penduga β̂_1 adalah…

A. Normal dengan mean β_1 dan variansi yang bergantung pada σ^2
B. t-Student dengan derajat bebas n-2
C. Gamma dengan parameter bentuk dan laju
D. Binomial dengan parameter p = β_1

Jawaban: A. Di bawah normalitas, penduga kuadrat terkecil menyebar Normal dengan mean parameter sejati dan variansi proporsional terhadap σ^2.

92. Dalam regresi linear sederhana, perbedaan antara penduga Bayesian dan kuadrat terkecil untuk koefisien β_1 terletak pada…

A. Penduga Bayesian mengintegrasikan informasi prior dan ketidakpastian parameter, sedangkan kuadrat terkecil hanya bergantung pada data sampel
B. Kuadrat terkecil menggunakan integral posterior, sedangkan Bayesian meminimalkan fungsi kerugian
C. Penduga Bayesian selalu menghasilkan estimator yang lebih besar dari kuadrat terkecil
D. Kuadrat terkecil hanya berlaku untuk variabel prediktor kontinu

Jawaban: A. Penduga Bayesian menggabungkan prior dengan likelihood melalui teorema Bayes, sedangkan kuadrat terkecil adalah metode berbasis data murni tanpa prior.

93. Sebuah studi agronomi mengukur respons y terhadap prediktor x dengan 20 observasi. Model regresi y = β_0 + β_1 x + ε diestimasi. Jika asumsi normalitas galat dipenuhi, distribusi untuk melakukan inferensi pada β_1 adalah…

A. Chi-kuadrat dengan derajat bebas 19
B. Normal standar
C. t-student dengan derajat bebas 18
D. F dengan derajat bebas (1, 19)

Jawaban: C. Untuk menguji atau membuat interval konfidensi β₁ dengan σ² tidak diketahui, statistik uji mengikuti distribusi t dengan derajat bebas n-2 = 18.

94. Dalam model regresi linear dengan notasi matriks y = Xβ + ε, dimensi matriks desain X untuk n observasi dan p prediktor adalah…

A. p × n
B. n × p
C. n × n
D. p × p

Jawaban: B. Matriks desain X memiliki baris sebanyak observasi (n) dan kolom sebanyak prediktor (p), sehingga dimensinya n × p.

95. Prior noninformatif Jeffrey untuk parameter regresi (β, σ^2) adalah π(β, σ^2) ∝ 1/σ^2. Sifat utama prior ini adalah…

A. Hanya dapat digunakan untuk regresi linear sederhana
B. Selalu menghasilkan posterior yang sama dengan frequentist
C. Bersifat objektif dan tidak memberikan preferensi subjektif pada nilai parameter tertentu
D. Menghasilkan estimator yang sama dengan prior konjugat Normal-Gamma

Jawaban: C. Prior Jeffrey dirancang sebagai prior objektif yang meminimalkan pengaruh subjektif, invarian terhadap transformasi parameter.

96. Di bawah prior noninformatif π(β, σ^2) ∝ 1/σ^2 untuk model y = Xβ + ε, distribusi posterior bersyarat untuk β jika diketahui σ^2 adalah…

A. t-student multivariat dengan derajat bebas n-p
B. Normal multivariat dengan mean β̂ dan matriks kovariansi σ^2 (X^T X)^{-1}
C. Wishart dengan parameter skala tertentu
D. Gamma multivariat dengan parameter dari data

Jawaban: B. Posterior bersyarat β|σ^2, y adalah Normal dengan mean penduga kuadrat terkecil β̂ dan kovariansi yang bergantung pada σ^2 dan matriks informasi Fisher.

97. Setelah menganalisis regresi Bayesian, seorang peneliti ingin memprediksi respons ỹ untuk nilai prediktor baru x̃. Distribusi ramalan posterior untuk ỹ diperoleh dengan cara…

A. Mengintegralkan likelihood ỹ terhadap distribusi posterior gabungan (β, σ^2)
B. Mengalikan likelihood dengan prior
C. Menghitung rata-rata sampel dari data yang sudah diamati
D. Mengganti parameter dengan penduga titik dan mengabaikan ketidakpastian

Jawaban: A. Distribusi ramalan posterior mengakomodasi ketidakpastian parameter dengan mengintegralkan likelihood data baru terhadap posterior parameter.

98. Seorang analis keuangan menggunakan regresi Bayesian dengan prior noninformatif pada data return saham. Setelah memperoleh posterior, ia memprediksi return untuk bulan depan. Dibandingkan dengan prediksi yang hanya menggunakan penduga titik kuadrat terkecil, prediksi Bayesian akan…

A. Memiliki interval prediksi yang lebih lebar karena memasukkan ketidakpastian parameter
B. Selalu menghasilkan nilai prediksi yang lebih tinggi
C. Memiliki variansi prediksi yang sama persis
D. Tidak memerlukan asumsi normalitas galat

Jawaban: A. Prediksi Bayesian mengintegralkan ketidakpastian parameter, menghasilkan variabilitas tambahan yang memperlebar interval prediksi dibanding prediksi berbasis penduga titik tunggal.

99. Dalam notasi matriks regresi y = Xβ + ε, penduga kuadrat terkecil β̂ dinyatakan sebagai…

A. X (X^T X)^{-1} y^T
B. X^T y (X^T X)
C. (X X^T)^{-1} X y
D. (X^T X)^{-1} X^T y

Jawaban: D. Penduga kuadrat terkecil dalam bentuk matriks diperoleh dengan meminimalkan (y – Xβ)^T (y – Xβ), menghasilkan rumus (X^T X)^{-1} X^T y.

100. Posterior marginal untuk σ^2 dalam regresi Bayesian dengan prior noninformatif π(β, σ^2) ∝ 1/σ^2 berbentuk…

A. Beta dengan parameter dari residual
B. Gamma dengan parameter bentuk n/2 dan laju RSS
C. Normal dengan mean RSS/(n-p)
D. Invers-Gamma dengan parameter bentuk (n-p)/2 dan skala RSS/2

Jawaban: D. Di bawah prior noninformatif 1/σ^2, posterior σ^2 adalah Invers-Gamma yang parameternya ditentukan oleh derajat bebas residual (n-p) dan residual sum of squares (RSS).

SATS4324 — Inferensi Bayesian

Latihan Tambahan dengan AI