PEMA4526 — Metode Numerik

1. Dalam perhitungan numerik, galat (error) yang disebabkan oleh penggunaan aproksimasi dalam proses komputasi dikenal sebagai…

A. Galat bawaan
B. Galat pemotongan
C. Galat pembulatan
D. Galat pengukuran

Jawaban: C. Galat pembulatan terjadi karena komputer hanya menyimpan sejumlah digit terbatas, sehingga bilangan dibulatkan, menyebabkan perbedaan antara nilai eksak dan aproksimasi.

2. Jika suatu bilangan 0.3333… (3 berulang) dibulatkan menjadi 0.3333, maka galat relatif yang terjadi adalah…

A. Sekitar 0.0001
B. Sekitar 0.0003333
C. Sekitar 0.01%
D. Sekitar 0.03333%

Jawaban: A. Galat absolut = |1/3 – 0.3333| = 0.00003333…; galat relatif = (0.00003333/0.3333) ≈ 0.0001, menunjukkan kesalahan pembulatan yang kecil.

3. Notasi selisih terhingga biasa Δf(x) didefinisikan sebagai…

A. f(x+h) – f(x-h)
B. f(x+h) – f(x)
C. f(x) – f(x-h)
D. (f(x+h)-f(x))/h

Jawaban: B. Δf(x) = f(x+h) – f(x) adalah definisi selisih maju (forward difference) untuk langkah h, digunakan dalam aproksimasi turunan.

4. Rumus selisih pembagi (divided difference) untuk data (x0,f0) dan (x1,f1) adalah…

A. (f0 – f1)/(x0 – x1)
B. (f1 – f0)/(x1 – x0)
C. f1 – f0
D. (x1 – x0)/(f1 – f0)

Jawaban: B. Selisih pembagi pertama didefinisikan sebagai (f1 – f0)/(x1 – x0) yang merupakan kemiringan garis lurus antara dua titik.

5. Metode biseksi untuk mencari akar persamaan f(x)=0 memerlukan syarat awal bahwa f(a) dan f(b) memiliki…

A. Nilai yang sama
B. Nilai positif
C. Nilai negatif
D. Tanda yang berlawanan

Jawaban: D. Metode biseksi membutuhkan f(a) dan f(b) berbeda tanda (f(a) * f(b) < 0) untuk menjamin setidaknya satu akar di interval [a,b].

6. Dalam metode iteratif x_{n+1} = g(x_n), proses konvergen jika |g'(x)| < 1 di sekitar akar. Prinsip ini dikenal sebagai…

A. Teorema Taylor
B. Syarat Lipschitz
C. Teorema konvergensi iterasi titik tetap
D. Metode Aitken

Jawaban: C. Teorema konvergensi iterasi titik tetap menyatakan bahwa jika |g'(x)| < 1, iterasi akan konvergen ke akar x = g(x).

7. Metode Newton-Raphson menggunakan rumus rekursif x_{n+1} = x_n – f(x_n)/f'(x_n). Metode ini memiliki kelemahan utama yaitu…

A. Membutuhkan turunan pertama f'(x)
B. Konvergensi lambat
C. Hanya bisa untuk persamaan linear
D. Memerlukan dua tebakan awal

Jawaban: A. Kelemahan Newton-Raphson adalah memerlukan perhitungan turunan f'(x), yang mungkin sulit atau mahal secara komputasi.

8. Interpolasi beda maju Newton untuk selang sama menggunakan tabel selisih. Jika data dengan titik x0, x1, x2, … dan h konstan, maka rumusnya menggunakan notasi…

A. Δ, ∇
B. Δ, δ
C. Δ, s
D. d, s

Jawaban: C. Interpolasi beda maju Newton menggunakan selisih maju Δ dan variabel s = (x – x0)/h untuk memudahkan perhitungan.

9. Interpolasi Lagrange untuk n+1 titik menghasilkan polinomial derajat…

A. n+1
B. n
C. n-1
D. 2n

Jawaban: B. Interpolasi Lagrange menggunakan n+1 titik data menghasilkan polinomial derajat n yang melewati semua titik tersebut.

10. Jika matriks A memiliki eigenvalue λ dan vektor eigen v, maka hubungan A v = λ v berlaku. Eigenvalue diperoleh dari persamaan…

A. det(A – λI) = 0
B. det(A + λI) = 0
C. A v = 0
D. det(A) = 0

Jawaban: A. Eigenvalue λ memenuhi det(A – λI) = 0, yang disebut persamaan karakteristik matriks A.

11. Metode Gauss-Jordan adalah modifikasi eliminasi Gauss yang menghasilkan…

A. Matriks segitiga atas
B. Matriks identitas
C. Matriks diagonal
D. Matriks tridiagonal

Jawaban: B. Metode Gauss-Jordan melanjutkan eliminasi sehingga menghasilkan matriks identitas, sehingga langsung diperoleh solusi sistem dan invers matriks.

12. Metode faktorisasi LU memfaktorkan matriks A menjadi…

A. L dan U dengan L segitiga bawah, U segitiga atas
B. L dan U dengan L segitiga atas, U segitiga bawah
C. L dan U dengan L diagonal, U identitas
D. L dan U dengan L dan U segitiga bebas

Jawaban: A. Faktorisasi LU memisahkan A = L * U, di mana L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

13. Diferensiasi numerik dengan selisih maju untuk turunan pertama f'(x0) didekati dengan rumus…

A. (f(x0+h) – f(x0))/h
B. (f(x0) – f(x0-h))/h
C. (f(x0+h) – f(x0-h))/(2h)
D. (f(x0+2h) – f(x0))/h

Jawaban: A. Rumus selisih maju f'(x0) ≈ (f(x0+h) – f(x0))/h merupakan aproksimasi orde O(h) untuk turunan pertama.

14. Metode integrasi numerik Simpson 1/3 menggunakan pendekatan polinomial derajat…

A. 0 (konstan)
B. 1 (linear)
C. 2 (kuadrat)
D. 3 (kubik)

Jawaban: C. Aturan Simpson 1/3 mengaproksimasi fungsi dengan polinomial derajat 2 (parabola) yang melalui tiga titik data.

15. Metode Euler untuk menyelesaikan persamaan diferensial y' = f(x,y) menggunakan rumus iteratif…

A. y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)
B. y_{n+1} = y_n + h f(x_{n+1}, y_{n+1})
C. y_{n+1} = y_n + (h/2) [f(x_n,y_n) + f(x_{n+1},y_{n+1})]
D. y_{n+1} = y_n + h^2 f(x_n, y_n)

Jawaban: A. Metode Euler adalah metode eksplisit orde satu: y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) dengan h adalah langkah.

16. Metode Runge-Kutta orde 4 menggunakan rata-rata tertimbang dari beberapa slope. Jumlah evaluasi fungsi per langkah adalah…

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Jawaban: C. Runge-Kutta orde 4 (RK4) menggunakan 4 evaluasi fungsi (k1, k2, k3, k4) untuk memperoleh aproksimasi yang akurat.

17. Metode Prediktor-Korektor untuk persamaan diferensial biasanya menggabungkan metode eksplisit dan implisit. Metode implisit yang sering digunakan sebagai korektor adalah…

A. Euler maju
B. Runge-Kutta orde 2
C. Trapesium (Crank-Nicolson)
D. Euler mundur

Jawaban: C. Metode trapesium (Crank-Nicolson) sering dipakai sebagai korektor karena stabil dan orde dua, misalnya dalam metode Adam-Bashforth-Moulton.

18. Dalam perhitungan numerik, kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan angka karena keterbatasan kemampuan komputer dalam menyajikan bilangan real disebut dengan istilah…

A. Kesalahan pemotongan (truncation error)
B. Kesalahan pembulatan (round-off error)
C. Kesalahan absolut
D. Kesalahan relatif

Jawaban: B. Kesalahan pembulatan (round-off error) terjadi ketika komputer membulatkan bilangan real yang tidak dapat disajikan secara tepat dalam sistem biner, misalnya 1/3 menjadi 0.3333.

19. Diberikan suatu fungsi f(x) = x³ + 2x. Menggunakan selisih terhingga maju dengan langkah h = 0.1, nilai aproksimasi f'(1) adalah…

A. 5.61
B. 5.00
C. 5.31
D. 5.10

Jawaban: C. Rumus selisih maju: f'(x) ≈ (f(x+h)-f(x))/h. f(1)=3, f(1.1)=1.1³+2*1.1=1.331+2.2=3.531. Maka f'(1)≈(3.531-3)/0.1=0.531/0.1=5.31.

20. Rumus selisih pembagi untuk data (x₀, f₀), (x₁, f₁), (x₂, f₂) pada selisih pembagi orde pertama adalah…

A. f[x₀, x₁] = (f₁ – f₀) / (x₁ – x₀)
B. f[x₀, x₁] = (f₁ + f₀) / (x₁ + x₀)
C. f[x₀, x₁] = (f₁ – f₀) / (x₁ + x₀)
D. f[x₀, x₁] = (f₁ + f₀) / (x₁ – x₀)

Jawaban: A. Selisih pembagi orde pertama didefinisikan sebagai f[xᵢ, xⱼ] = (fⱼ – fᵢ) / (xⱼ – xᵢ), yaitu selisih nilai fungsi dibagi selisih titik.

21. Metode biseksi digunakan untuk mencari akar persamaan f(x) = 0 pada interval [a, b] dengan syarat…

A. f(a) dan f(b) sama tanda
B. f(a) dan f(b) berlawanan tanda
C. f(a) = f(b) = 0
D. f(a) > 0 dan f(b) > 0

Jawaban: B. Metode biseksi memerlukan f(a) dan f(b) berlawanan tanda (f(a) * f(b) < 0) untuk menjamin terdapat minimal satu akar di interval tersebut berdasarkan Teorema Nilai Antara.

22. Dalam metode Newton-Raphson, rumus iterasi untuk mencari akar persamaan f(x) = 0 adalah…

A. x_{n+1} = x_n – f(x_n) / f'(x_n)
B. x_{n+1} = x_n + f(x_n) / f'(x_n)
C. x_{n+1} = x_n – f'(x_n) / f(x_n)
D. x_{n+1} = x_n + f'(x_n) / f(x_n)

Jawaban: A. Rumus iterasi Newton-Raphson adalah x_{n+1} = x_n – f(x_n) / f'(x_n), yang berasal dari ekspansi deret Taylor.

23. Metode posisi palsu (false position) pada dasarnya mirip dengan metode biseksi, namun perbedaannya terletak pada…

A. Penggunaan garis singgung kurva
B. Penggunaan garis lurus melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)) untuk menentukan titik potong
C. Penggunaan turunan fungsi
D. Pemilihan titik tengah interval sebagai tebakan

Jawaban: B. Metode false position menggunakan garis lurus yang menghubungkan (a, f(a)) dan (b, f(b)), kemudian mencari titik potongnya dengan sumbu x sebagai tebakan baru.

24. Dalam interpolasi Newton untuk data berselang sama, koefisien yang digunakan dalam polinomial didasarkan pada…

A. Selisih terhingga maju
B. Selisih pembagi
C. Integral numerik
D. Diferensial numerik

Jawaban: A. Interpolasi Newton untuk data berselang sama menggunakan tabel selisih terhingga (maju atau mundur) untuk menghitung koefisien polinomialnya.

25. Diberikan titik-titik data (0,1), (1,3), (2,7). Polinomial Lagrange orde 2 yang melalui titik-titik tersebut adalah…

A. x² + x + 1
B. x² + 2x + 1
C. x² + 3x + 1
D. x² + 4x + 1

Jawaban: B. Gunakan rumus Lagrange: P₂(x)=1*L₀+3*L₁+7*L₂. Setelah dihitung, diperoleh P₂(x)=x²+2x+1. Misal, untuk x=1, hasilnya 1+2+1=4, bukan 3. Perlu koreksi: P₂(0)=1, P₂(1)=3, P₂(2)=7. Coba interpolasi: P₂(x)=x²+2x+1? P₂(1)=1+2+1=4 (tidak cocok). Seharusnya hitung ulang: P₂(x)=1 + 2x + x²? P₂(1)=4. Jadi perlu evaluasi. Misal, P₂(x)=x²+x+1? P₂(1)=3, P₂(2)=7, P₂(0)=1. Maka jawaban yang benar adalah A: x²+x+1.

26. Jika diberikan titik data (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (xₙ, yₙ) dengan jarak antar x tidak sama, maka metode interpolasi yang paling tepat digunakan adalah…

A. Interpolasi Newton-Gregory maju
B. Interpolasi Newton-Gregory mundur
C. Interpolasi Lagrange
D. Interpolasi beda tengah Stirling

Jawaban: C. Interpolasi Lagrange dan Newton dengan selisih pembagi dapat digunakan untuk data berselang tidak sama. Opsi C adalah yang paling umum dan tepat.

27. Metode eliminasi Gauss digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Langkah utama dalam eliminasi Gauss adalah…

A. Membentuk matriks menjadi matriks identitas
B. Mengubah matriks menjadi matriks segitiga atas
C. Menghitung determinan matriks
D. Mencari invers matriks langsung

Jawaban: B. Eliminasi Gauss mengubah matriks augmented menjadi matriks segitiga atas melalui operasi baris elementer, kemudian substitusi balik untuk mendapatkan solusi.

28. Dalam metode faktorisasi LU, matriks A didekomposisi menjadi perkalian matriks L dan U, di mana L adalah matriks…

A. Segitiga bawah dengan diagonal utama 1
B. Segitiga atas dengan diagonal utama 1
C. Segitiga bawah dengan diagonal utama 0
D. Segitiga atas dengan diagonal utama 0

Jawaban: A. Faktorisasi LU (dengan metode Doolittle) menghasilkan L sebagai matriks segitiga bawah dengan elemen diagonal utama bernilai 1, dan U sebagai matriks segitiga atas.

29. Diferensiasi numerik untuk menghitung f'(x) dengan metode selisih pusat orde O(h²) menggunakan rumus…

A. f'(x) ≈ (f(x+h) – f(x-h)) / (2h)
B. f'(x) ≈ (f(x+h) – f(x)) / h
C. f'(x) ≈ (f(x) – f(x-h)) / h
D. f'(x) ≈ (f(x+2h) – f(x)) / (2h)

Jawaban: A. Selisih pusat orde O(h²) dirumuskan sebagai f'(x) ≈ (f(x+h) – f(x-h))/(2h), yang memberikan galat lebih kecil dibanding selisih maju atau mundur.

30. Dalam integrasi numerik, metode Simpson 1/3 menghasilkan aproksimasi integral dengan galat yang sebanding dengan…

A. h⁴
B. h³
C. h²
D. h

Jawaban: A. Metode Simpson 1/3 memiliki galat pemotongan sebesar O(h⁴), lebih kecil dibanding metode trapesium yang O(h²).

31. Metode trapesium untuk menghitung integral ∫ₐᵇ f(x) dx dengan satu panel memiliki rumus…

A. (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2
B. (b-a) * (f(a) – f(b)) / 2
C. (b-a) * (f(a) + f(b))
D. (b-a) * (f(a) – f(b))

Jawaban: A. Rumus trapesium satu panel adalah (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2, yang merupakan luas trapesium dengan tinggi (b-a) dan sisi sejajar f(a) dan f(b).

32. Metode deret Taylor untuk solusi persamaan diferensial biasa y' = f(x, y) dengan kondisi awal y(x₀)=y₀, mengaproksimasi y(x₁) dengan rumus…

A. y₁ = y₀ + h f(x₀, y₀) + (h²/2!) f'(x₀, y₀) + …
B. y₁ = y₀ + h f(x₁, y₁)
C. y₁ = y₀ + h f(x₀, y₀)
D. y₁ = y₀ + (h/2) (f(x₀, y₀) + f(x₁, y₁))

Jawaban: A. Metode deret Taylor mengembangkan y(x) di sekitar x₀, menggunakan turunan orde tinggi untuk meningkatkan akurasi. Opsi A adalah bentuk umumnya.

33. Metode Runge-Kutta orde 4 untuk persamaan diferensial y' = f(x, y) menggunakan perhitungan empat buah slope. Rumus untuk k₂ adalah…

A. h f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2)
B. h f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2)
C. h f(xₙ + h, yₙ + k₃)
D. h f(xₙ, yₙ)

Jawaban: B. Dalam RK4, k₂ = h f(xₙ + h/2, yₙ + k₁/2), dengan k₁ = h f(xₙ, yₙ). Opsi A dan B sama, tetapi yang benar adalah B (koreksi: seharusnya k₂ = h f(x_n + h/2, y_n + k_1/2)). Jawaban yang tepat adalah B.

34. Metode prediktor-korektor untuk persamaan diferensial biasa terdiri dari dua langkah. Langkah prediktor biasanya menggunakan metode…

A. Euler maju
B. Euler mundur
C. Runge-Kutta orde 4
D. Deret Taylor orde 2

Jawaban: A. Dalam metode prediktor-korektor, langkah prediktor sering menggunakan metode Euler maju (eksplisit) untuk memperkirakan nilai awal, kemudian langkah korektor memperbaikinya dengan metode seperti Euler mundur atau trapesium.

35. Dalam perhitungan numerik, jenis kekeliruan yang disebabkan oleh pembulatan bilangan pada proses komputasi disebut …

A. Kekeliruan bawaan
B. Kekeliruan pemotongan
C. Kekeliruan pembulatan
D. Kekeliruan relatif

Jawaban: C. Kekeliruan pembulatan terjadi karena bilangan real dibulatkan ke sejumlah digit tertentu dalam perhitungan.

36. Rumus selisih terhingga maju orde pertama untuk turunan pertama f'(x) adalah …

A. (f(x+h) – f(x)) / h
B. (f(x) – f(x-h)) / h
C. (f(x+h) – f(x-h)) / 2h
D. (f(x+2h) – 2f(x+h) + f(x)) / h^2

Jawaban: A. Rumus selisih maju orde pertama adalah (f(x+h)-f(x))/h.

37. Selisih pembagi untuk data (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)) didefinisikan sebagai …

A. f[x0, x1] = (f(x1) – f(x0)) / (x1 – x0)
B. f[x0, x1] = (f(x1) + f(x0)) / (x1 + x0)
C. f[x0, x1] = (x1 – x0) / (f(x1) – f(x0))
D. f[x0, x1] = (f(x1) – f(x0)) * (x1 – x0)

Jawaban: A. Selisih pembagi adalah rasio selisih nilai fungsi terhadap selisih argumen.

38. Metode biseksi digunakan untuk mencari akar persamaan f(x)=0 dengan syarat interval [a,b] harus memenuhi …

A. f(a) * f(b) > 0
B. f(a) * f(b) = 0
C. f(a) * f(b) < 0
D. f(a) = f(b)

Jawaban: C. Metode biseksi memerlukan f(a) dan f(b) berlawanan tanda agar terdapat akar di antara a dan b.

39. Dalam metode iteratif titik tetap, fungsi iterasi x = g(x) harus dipilih sehingga konvergen. Syarat konvergensi lokal adalah …

A. |g'(x)| < 1 di sekitar akar
B. |g'(x)| > 1 di sekitar akar
C. |g'(x)| = 1 di sekitar akar
D. |g(x)| < 1 di sekitar akar

Jawaban: A. Metode iteratif konvergen jika nilai mutlak turunan fungsi iterasi kurang dari 1.

40. Metode Newton-Raphson memiliki rumus iterasi untuk mencari akar f(x)=0 adalah …

A. x_{n+1} = x_n + f(x_n)/f'(x_n)
B. x_{n+1} = x_n – f(x_n)/f'(x_n)
C. x_{n+1} = x_n – f'(x_n)/f(x_n)
D. x_{n+1} = x_n + f'(x_n)/f(x_n)

Jawaban: B. Rumus Newton-Raphson: x_{n+1} = x_n – f(x_n)/f'(x_n).

41. Metode interpolasi Newton untuk data berselang sama menggunakan tabel …

A. Selisih maju
B. Selisih mundur
C. Selisih pembagi
D. Selisih tengah

Jawaban: A. Interpolasi Newton untuk data berselang sama menggunakan tabel selisih maju (forward difference).

42. Rumus interpolasi Lagrange untuk dua titik (x0, y0) dan (x1, y1) adalah …

A. P(x) = y0 * (x-x1)/(x0-x1) + y1 * (x-x0)/(x1-x0)
B. P(x) = y0 * (x-x0)/(x1-x0) + y1 * (x-x1)/(x0-x1)
C. P(x) = y0 * (x+x1)/(x0+x1) + y1 * (x+x0)/(x1+x0)
D. P(x) = y0 * (x-x1)/(x0+x1) + y1 * (x-x0)/(x1+x0)

Jawaban: A. Interpolasi Lagrange linear adalah kombinasi linear dari dua titik dengan bobot polinomial.

43. Diberikan matriks A berukuran n x n. Nilai eigenvalue λ memenuhi persamaan …

A. det(A – λI) = 0
B. det(A + λI) = 0
C. det(λA – I) = 0
D. det(A/λ – I) = 0

Jawaban: A. Eigenvalue λ diperoleh dari persamaan karakteristik det(A – λI) = 0.

44. Metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear Ax = b melibatkan langkah …

A. Membentuk matriks segitiga atas
B. Membentuk matriks segitiga bawah
C. Mengalikan matriks A dengan vektor b
D. Menjumlahkan semua baris

Jawaban: A. Eliminasi Gauss mengubah matriks augmented menjadi bentuk segitiga atas untuk substitusi balik.

45. Rumus diferensiasi numerik untuk turunan pertama menggunakan selisih pusat orde kedua adalah …

A. (f(x+h) – f(x-h)) / (2h)
B. (f(x+h) – f(x)) / h
C. (f(x) – f(x-h)) / h
D. (f(x+h) – 2f(x) + f(x-h)) / h^2

Jawaban: A. Rumus selisih pusat orde kedua: (f(x+h)-f(x-h))/(2h).

46. Metode integrasi numerik dengan aturan trapesium untuk integral f(x) dari a ke b adalah …

A. (b-a) * (f(a) + f(b))/2
B. (b-a) * (f(a) + f(b))
C. (b-a) * (f(a) – f(b))/2
D. (b-a) * (f(a) * f(b))/2

Jawaban: A. Aturan trapesium: ∫f(x)dx ≈ (b-a)(f(a)+f(b))/2.

47. Metode Simpson 1/3 untuk integrasi numerik memerlukan jumlah subinterval yang …

A. Genap
B. Ganjil
C. Sembarang
D. Kelipatan 3

Jawaban: A. Aturan Simpson 1/3 memerlukan jumlah subinterval genap.

48. Solusi persamaan diferensial dy/dx = f(x,y) dengan deret Taylor orde pertama menghasilkan metode …

A. Euler
B. Runge-Kutta orde 4
C. Picard
D. Prediktor-korektor

Jawaban: A. Deret Taylor orde pertama menghasilkan metode Euler: y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n).

49. Metode Picard untuk menyelesaikan persamaan diferensial dilakukan dengan …

A. Iterasi integral berulang
B. Integrasi numerik langsung
C. Diferensiasi numerik
D. Eliminasi Gauss

Jawaban: A. Metode Picard menggunakan iterasi integral berulang untuk mendekati solusi.

50. Metode Runge-Kutta orde 4 untuk persamaan diferensial dy/dx = f(x,y) menggunakan …

A. Empat evaluasi fungsi f per langkah
B. Dua evaluasi fungsi f per langkah
C. Satu evaluasi fungsi f per langkah
D. Tiga evaluasi fungsi f per langkah

Jawaban: A. Metode Runge-Kutta orde 4 memerlukan empat evaluasi fungsi f pada setiap langkah.

PEMA4526 — Metode Numerik

Latihan Tambahan dengan AI