PEMA4419 — Analisis Vektor

1. Diketahui vektor a = (2, -1, 3) dan b = (-4, 2, -6). Manakah pernyataan yang benar?

A. a = 2b
B. a = -2b
C. a = 1/2 b
D. a = -1/2 b

Jawaban: D. Karena -1/2 * b = -1/2 * (-4, 2, -6) = (2, -1, 3) = a.

2. Persamaan vektor garis lurus yang melalui titik A(2,3) dan B(5,7) adalah…

A. r = (2,3) + t(3,4)
B. r = (2,3) + t(2,3)
C. r = (5,7) + t(2,3)
D. r = (5,7) + t(3,5)

Jawaban: A. Vektor arah AB = (5-2, 7-3) = (3,4). Persamaan garis melalui A: r = (2,3) + t(3,4).

3. Vektor posisi titik P dalam koordinat Cartesius adalah (3, -4, 0). Besar vektor tersebut adalah…

A. 3
B. 4
C. 5
D. 7

Jawaban: C. |r| = sqrt(3^2 + (-4)^2 + 0^2) = sqrt(9+16) = sqrt(25) = 5.

4. Fungsi vektor r(t) = (cos t, sin t, t) untuk t dari 0 sampai 2π menggambarkan…

A. Lingkaran pada bidang xy
B. Garis lurus
C. Heliks (spiral)
D. Parabola

Jawaban: C. r(t) = (cos t, sin t, t) adalah parametrisasi heliks berjalan naik seiring t.

5. Jika a = (2, 1, -3) dan b = (1, 0, 2), hasil kali skalar a · b adalah…

A. -4
B. 2
C. 4
D. 8

Jawaban: A. a·b = 2*1 + 1*0 + (-3)*2 = 2 + 0 – 6 = -4.

6. Diketahui a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6). Hasil kali vektor a × b adalah…

A. (-3, 6, -3)
B. (3, -6, 3)
C. (-3, -6, -3)
D. (3, 6, 3)

Jawaban: A. a×b = (2*6-3*5, 3*4-1*6, 1*5-2*4) = (12-15, 12-6, 5-8) = (-3, 6, -3).

7. Hasil kali tripel skalar dari vektor a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0), c = (0, 0, 1) adalah…

A. 0
B. 1
C. -1
D. 3

Jawaban: B. [a,b,c] = a·(b×c) = (1,0,0)·(1*1-0*0, 0*0-0*1, 0*0-1*0) = (1,0,0)·(1,0,0) = 1.

8. Jika r(t) = (t^2, 3t, t^3), maka turunan fungsi vektor r'(t) adalah…

A. (2t, 3, 3t^2)
B. (2t, 3, 2t^2)
C. (t^2, 3, t^3)
D. (2t, 0, 3t^2)

Jawaban: A. Turunan setiap komponen: d/dt (t^2)=2t, d/dt (3t)=3, d/dt (t^3)=3t^2.

9. Sebuah partikel bergerak dengan posisi r(t) = (2 cos t, 2 sin t, 0). Kecepatan partikel pada t=π/2 adalah…

A. (0, 2, 0)
B. (-2, 0, 0)
C. (0, -2, 0)
D. (2, 0, 0)

Jawaban: B. v(t)=r'(t)=(-2 sin t, 2 cos t, 0). Pada t=π/2: v=(-2*1, 2*0, 0)=(-2,0,0).

10. Jika f(x,y,z)=x^2 + y^2 – z, gradien dari f pada titik (1,1,2) adalah…

A. (2, 2, -1)
B. (1, 1, -2)
C. (2, 2, 1)
D. (1, 1, -1)

Jawaban: A. ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z) = (2x, 2y, -1). Pada (1,1,2): (2,2,-1).

11. Diketahui medan vektor F = (x, y, z). Divergensi dari F adalah…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Jawaban: D. div F = ∂(x)/∂x + ∂(y)/∂y + ∂(z)/∂z = 1+1+1 = 3.

12. Hitung integral garis ∫_C F·dr dengan F = (y, x) sepanjang kurva C dari (0,0) ke (1,1) pada parabola y=x^2.

A. 1/3
B. 1/2
C. 2/3
D. 1

Jawaban: C. Parametrisasi: r(t)=(t,t^2), 0≤t≤1, dr=(1,2t)dt, F=(t^2,t). Integral:∫(t^2*1 + t*2t)dt=∫(t^2+2t^2)dt=∫3t^2 dt=t^3|0^1=1.

13. Teorema Green menyatakan bahwa ∮_C (P dx + Q dy) = ∬_R (Q_x – P_y) dA. Jika P= -y dan Q=x, maka hasil integral garis mengelilingi lingkaran x^2+y^2=1 adalah…

A. 0
B. π
C. 2π
D. 4π

Jawaban: C. Q_x – P_y = 1 – (-1) = 2. Luas lingkaran = π, hasil = 2π.

14. Permukaan S adalah bagian dari paraboloid z = x^2 + y^2 di bawah bidang z=1. Vektor normal permukaan tersebut adalah…

A. (-2x, -2y, 1)
B. (2x, 2y, -1)
C. (x, y, 1)
D. (2x, 2y, 1)

Jawaban: A. Untuk permukaan z=f(x,y), vektor normal ke atas adalah (-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1) = (-2x, -2y, 1).

15. Volume benda yang dibatasi oleh silinder x^2+z^2=1 dan bidang y=0, y=1 adalah…

A. π
B. π/2
C. 2π
D. π/4

Jawaban: A. Luas penampang lingkaran x^2+z^2=1 adalah π, integral y dari 0 sampai 1 menghasilkan volume π.

16. Dalam koordinat tabung, elemen volume dV adalah…

A. dr dθ dz
B. r dr dθ dz
C. r^2 dr dθ dz
D. dr dθ r dz

Jawaban: B. Faktor Jacobian untuk koordinat tabung adalah r, sehingga dV = r dr dθ dz.

17. Teorema Divergensi Gauss untuk medan vektor F = (x, y, z) pada kubus 0≤x,y,z≤1 menghasilkan nilai…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Jawaban: D. div F = 3. Integral volume dari 0 hingga 1 pada x,y,z = ∫∫∫ 3 dx dy dz = 3.

18. Vektor posisi dari titik A(3, -2, 1) adalah…

A. 3i – 2j + k
B. 3i + 2j + k
C. -3i + 2j – k
D. 3i – 2j – k

Jawaban: A. Vektor posisi dari titik (x, y, z) adalah xi + yj + zk, sehingga (3, -2, 1) menjadi 3i – 2j + k.

19. Persamaan vektor suatu garis yang melalui titik A(1,2) dan B(4,6) dalam R2 adalah…

A. r = (1,2) + t(4,6)
B. r = (1,2) + t(3,4)
C. r = (4,6) + t(1,2)
D. r = (3,4) + t(1,2)

Jawaban: B. Vektor arah AB = B – A = (3,4). Persamaan garis: r = A + t(AB) = (1,2) + t(3,4).

20. Vektor dalam koordinat Cartesius dinyatakan sebagai A = 2i + 3j – k. Panjang vektor A adalah…

A. √14
B. √10
C. √13
D. √15

Jawaban: A. Panjang vektor = √(2² + 3² + (-1)²) = √(4 + 9 + 1) = √14.

21. Fungsi vektor r(t) = (t²)i + (2t)j. Nilai r(2) adalah…

A. 4i + 4j
B. 2i + 4j
C. 4i + 2j
D. 2i + 2j

Jawaban: A. Substitusi t=2: (2²)i + (2·2)j = 4i + 4j.

22. Hasil kali skalar (dot product) antara vektor A = i + 2j dan B = 3i – j adalah…

A. 1
B. 3
C. 2
D. 5

Jawaban: A. A·B = (1)(3) + (2)(-1) = 3 – 2 = 1.

23. Hasil kali vektor (cross product) antara A = i dan B = j adalah…

A. 0
B. k
C. -k
D. 1

Jawaban: B. i × j = k, sesuai aturan tangan kanan.

24. Hasil kali tripel skalar (scalar triple product) dari A = i, B = j, C = k adalah…

A. 0
B. 1
C. -1
D. 2

Jawaban: B. A·(B×C) = i·(j×k) = i·i = 1.

25. Turunan dari fungsi vektor r(t) = t²i + t³j adalah…

A. 2ti + 3t²j
B. t²i + t³j
C. 2ti + t²j
D. 3t²i + 2tj

Jawaban: A. Turunan dr/dt = (d/dt t²)i + (d/dt t³)j = 2ti + 3t²j.

26. Jika posisi partikel r(t) = 3t i + 4t j, maka kecepatan partikel adalah…

A. 3i + 4j
B. 3t i + 4t j
C. 3 i + 4 j
D. 4i + 3j

Jawaban: C. Kecepatan v = dr/dt = 3i + 4j.

27. Gradien dari fungsi skalar f(x,y,z) = x² + y² + z² adalah…

A. 2xi + 2yj + 2zk
B. xi + yj + zk
C. 2x + 2y + 2z
D. 2i + 2j + 2k

Jawaban: A. ∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k = 2xi + 2yj + 2zk.

28. Divergensi dari medan vektor F = xi + yj + zk adalah…

A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

Jawaban: C. ∇·F = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1 + 1 + 1 = 3.

29. Integral garis ∫C (x dy + y dx) dengan C dari (0,0) ke (1,1) sepanjang y=x adalah…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Jawaban: B. Parameterisasi: x=t, y=t, dx=dt, dy=dt, integral ∫₀¹ (t dt + t dt) = ∫₀¹ 2t dt = [t²]₀¹ = 1.

30. Teorema Green mengubah integral garis menjadi integral ganda pada daerah…

A. Ruang
B. Bidang
C. Garis
D. Permukaan

Jawaban: B. Teorema Green menghubungkan integral garis pada kurva tertutup dengan integral ganda pada daerah bidang yang dibatasi.

31. Integral permukaan ∫∫S z dS dengan S adalah permukaan z=1 pada 0≤x≤1, 0≤y≤1 adalah…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Jawaban: B. z=1, dS = dxdy, integral = ∫₀¹∫₀¹ 1 dxdy = 1.

32. Integral volume dari fungsi f(x,y,z)=1 pada kubus 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 adalah…

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Jawaban: B. ∫₀¹∫₀¹∫₀¹ 1 dxdydz = 1.

33. Dalam koordinat tabung, elemen volume dV adalah…

A. r dr dθ dz
B. dr dθ dz
C. r² dr dθ dz
D. dr dθ dz

Jawaban: A. Dalam koordinat tabung, dV = r dr dθ dz.

34. Teorema Divergensi Gauss menyatakan bahwa ∫∫S F·n dS sama dengan…

A. ∫∫∫V ∇·F dV
B. ∫∫V ∇·F dV
C. ∫∫∫V F dV
D. ∫∫S F dS

Jawaban: A. Teorema Divergensi Gauss: ∫∫S F·n dS = ∫∫∫V ∇·F dV.

35. Diberikan dua vektor a = (2, -1) dan b = (1, 3). Hasil dari a – 2b adalah…

A. (0, -7)
B. (4, 5)
C. (0, -5)
D. (1, -7)

Jawaban: A. a – 2b = (2, -1) – 2(1, 3) = (2-2, -1-6) = (0, -7).

36. Vektor posisi titik A dan B adalah a = (2, -1) dan b = (3, 2). Vektor AB dalam bentuk vektor posisi adalah…

A. b – a
B. a – b
C. a + b
D. b + a

Jawaban: A. Vektor AB = vektor posisi B dikurangi vektor posisi A, yaitu AB = b – a.

37. Vektor u dalam koordinat Cartesius adalah u = 3i – 2j + k. Besarnya vektor u adalah…

A. √14
B. √10
C. 14
D. 10

Jawaban: A. |u| = √(3² + (-2)² + 1²) = √(9+4+1) = √14.

38. Fungsi vektor r(t) = (t², 2t, t³). Vektor pada saat t = 1 adalah…

A. (1, 2, 1)
B. (1, 2, 3)
C. (1, 0, 1)
D. (2, 2, 1)

Jawaban: A. Substitusi t=1: r(1) = (1², 2·1, 1³) = (1, 2, 1).

39. Diketahui a = (1, 2, 0) dan b = (3, -1, 4). Hasil kali skalar a · b adalah…

A. 1
B. 3
C. 5
D. -1

Jawaban: A. a · b = 1·3 + 2·(-1) + 0·4 = 3 – 2 + 0 = 1.

40. Diketahui a = (1, 2, 0) dan b = (3, -1, 4). Hasil kali vektor a × b adalah…

A. (8, -4, -7)
B. (8, 4, -7)
C. (-8, 4, 7)
D. (8, -4, 7)

Jawaban: A. a × b = (2·4 – 0·(-1), 0·3 – 1·4, 1·(-1) – 2·3) = (8, -4, -7).

41. Hasil kali tripel skalar (a × b)·c untuk a = (1,0,0), b = (0,1,0), dan c = (0,0,1) adalah…

A. 1
B. 0
C. -1
D. 2

Jawaban: A. (a × b) = (0,0,1); (0,0,1) · (0,0,1) = 1, yang merupakan volume paralelepipedum.

42. Turunan fungsi vektor r(t) = (t³, e^t, sin(t)) terhadap t adalah…

A. (3t², e^t, cos(t))
B. (t², e^t, -cos(t))
C. (3t², e^t, -sin(t))
D. (t², e^t, sin(t))

Jawaban: A. Turunan t³ = 3t², e^t = e^t, sin(t) = cos(t).

43. Suatu partikel bergerak dengan vektor posisi r(t) = (t², 2t). Kecepatan partikel pada t=2 adalah…

A. (4, 2)
B. (2, 2)
C. (4, 0)
D. (0, 2)

Jawaban: A. v(t) = (2t, 2); v(2) = (4, 2).

44. Medan skalar f(x,y,z) = x²y + z. Gradien ∇f di titik (1,1,1) adalah…

A. (2, 1, 1)
B. (1, 2, 1)
C. (2, 2, 1)
D. (2, 1, 0)

Jawaban: A. ∇f = (2xy, x², 1); di (1,1,1) = (2, 1, 1).

45. Medan vektor F = (x, y, z). Divergensi ∇·F adalah…

A. 3
B. 1
C. 0
D. x+y+z

Jawaban: A. ∇·F = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1+1+1 = 3.

46. Hitung integral garis ∫_C (x dy – y dx) dengan C adalah kurva dari (0,0) ke (1,1) sepanjang y=x.

A. 0
B. 1
C. -1
D. 2

Jawaban: A. Pada y=x, dy=dx, integran = x dx – x dx = 0, integral = 0.

47. Teorema Green mengubah integral garis menjadi integral lipat di…

A. bidang
B. ruang
C. permukaan
D. volume

Jawaban: A. Teorema Green menghubungkan integral garis di kurva tertutup dengan integral lipat dua di daerah yang dibatasinya.

48. Parameter permukaan: r(u,v) = (u, v, u²+v²). Vektor normal permukaan pada titik (0,0,0) adalah…

A. (0,0,-1)
B. (0,0,1)
C. (1,1,0)
D. (-1,-1,0)

Jawaban: A. r_u=(1,0,2u), r_v=(0,1,2v). Di (0,0,0): u=0, v=0; r_u=(1,0,0), r_v=(0,1,0); cross product = (0,0,1). Yang diminta biasanya normal satuan, (0,0,1).

49. Integral volume dari fungsi f(x,y,z)=1 pada daerah kubus 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 adalah…

A. 1
B. 0
C. 3
D. ∫∫∫ dV

Jawaban: A. ∫ dari 0 sampai 1 masing-masing variabel = 1*1*1 = 1.

50. Teorema Divergensi Gauss menghubungkan integral permukaan dengan integral…

A. volume
B. garis
C. lipat dua
D. turunan

Jawaban: A. Teorema Divergensi Gauss mengubah integral permukaan dari medan vektor menjadi integral volume divergensinya.

PEMA4419 — Analisis Vektor

Latihan Tambahan dengan AI