PEMA4315 — Struktur Aljabar

1. Himpunan A = {a,b} dan B = {1,2,3}. Banyaknya pemetaan (fungsi) dari A ke B adalah…

A. 5
B. 6
C. 8
D. 9

Jawaban: D. Banyak pemetaan dari A ke B = |B|^|A| = 3^2 = 9.

2. Diketahui a,b,c ∈ Z (bilangan bulat). Jika a|b dan a|c, maka pernyataan berikut yang benar adalah…

A. a|(b+c)
B. a|(b⋅c)
C. a|(b−c)
D. a|(b+c) dan a|(b−c)

Jawaban: D. Jika a membagi b dan c, maka a membagi jumlah dan selisihnya.

3. Bilangan 23 kongruen dengan … modulo 7.

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Jawaban: B. 23 mod 7 = 2, karena 7×3=21, sisa 2.

4. Bentuk umum bilangan kompleks adalah a+bi dengan i = √(−1). Hasil dari (2+3i)+(4−5i) adalah…

A. 6−2i
B. 6+2i
C. −2+8i
D. 8+2i

Jawaban: A. (2+3i)+(4−5i)=(2+4)+(3i−5i)=6−2i.

5. Jika f:A→B adalah pemetaan injektif, maka pernyataan berikut yang benar adalah…

A. Setiap anggota B memiliki prapeta tepat satu
B. Setiap anggota A memiliki peta berbeda di B
C. Setiap anggota B memiliki peta di A
D. f adalah fungsi surjektif

Jawaban: B. Fungsi injektif memastikan setiap anggota A memiliki peta yang berbeda di B.

6. Operasi biner ∗ pada himpunan bilangan real didefinisikan a∗b = a+b+1. Sifat yang dimiliki operasi ini adalah…

A. Asosiatif
B. Komutatif
C. Asosiatif dan komutatif
D. Tidak asosiatif dan tidak komutatif

Jawaban: C. a∗b=a+b+1 = b+a+1 = b∗a (komutatif). (a∗b)∗c=(a+b+1)+c+1=a+b+c+2 = a∗(b∗c) (asosiatif).

7. Himpunan bilangan bulat mod 5 terhadap operasi penjumlahan modulo 5 membentuk grup. Elemen identitasnya adalah…

A. 1
B. 0
C. 4
D. 5

Jawaban: B. Identitas penjumlahan modulo n adalah 0, karena a+0 ≡ a mod n.

8. Dalam grup (Z₆,+) dengan penjumlahan modulo 6, invers dari 2 adalah…

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Jawaban: C. 2 + 4 ≡ 0 mod 6, sehingga invers 2 adalah 4.

9. Jika (G,∗) adalah grup dengan a∈G, maka (a⁻¹)⁻¹ = …

A. e (identitas)
B. a
C. a⁻¹
D. a∗a

Jawaban: B. Invers dari invers suatu elemen adalah elemen itu sendiri.

10. Himpunan bagian H dari grup G disebut subgrup jika H membentuk grup terhadap operasi yang sama. Syarat yang paling sederhana adalah…

A. H tidak kosong, tertutup, dan memiliki invers
B. H tertutup dan memiliki identitas
C. H tidak kosong, dan untuk setiap a,b∈H, a∗b⁻¹∈H
D. H memiliki identitas dan asosiatif

Jawaban: C. Teorema subgrup: H subgrup jika H tak kosong dan a∗b⁻¹ ∈ H untuk setiap a,b∈H.

11. Banyaknya permutasi dari 3 unsur berbeda adalah…

A. 3
B. 6
C. 9
D. 27

Jawaban: B. Banyak permutasi n unsur adalah n! = 3! = 6.

12. Grup siklik adalah grup yang dapat dihasilkan oleh satu elemen. Grup Z₆ terhadap penjumlahan modulo 6 dihasilkan oleh elemen…

A. 1
B. 2
C. 3
D. Semua benar

Jawaban: D. Z₆ siklik dihasilkan oleh 1. Namun, elemen yang relatif prima dengan 6 juga bisa menjadi generator, seperti 5. Tapi semua benar karena 1 generator, 2 tidak karena hanya menghasilkan genap, seharusnya hanya 1 dan 5. Koreksi: hanya 1 dan 5 yang generator. Jadi D tidak tepat. Jawaban yang tepat: A (1) sebagai generator utama. Namun dalam konteks soal, jawaban yang paling umum adalah 1.

13. Koset kiri dari subgrup H dalam grup G adalah…

A. aH = {a∗h | h∈H}
B. Ha = {h∗a | h∈H}
C. H∩G
D. G/H

Jawaban: A. Koset kiri didefinisikan sebagai aH = {a∗h | h∈H}.

14. Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal jika untuk setiap g∈G dan n∈N berlaku…

A. g∗n = n∗g
B. g N = N g
C. g∗n ∈ N
D. n∗g ∈ N

Jawaban: B. Subgrup normal jika koset kiri sama dengan koset kanan, yaitu gN = Ng untuk semua g∈G.

15. Pemetaan φ:G→H disebut homomorfisme grup jika untuk setiap a,b∈G berlaku…

A. φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)
B. φ(a∗b)=φ(a)∗b
C. φ(a∗b)=a∗φ(b)
D. φ(a∗b)=φ(a)+φ(b)

Jawaban: A. Homomorfisme grup mempertahankan operasi: φ(ab)=φ(a)φ(b).

16. Diberikan gelanggang (R,+,⋅). Elemen a∈R disebut pembagi nol jika…

A. a⋅b=0 untuk suatu b≠0
B. a⋅a=0
C. a+0=0
D. a⋅1=0

Jawaban: A. Pembagi nol adalah elemen tak nol yang hasil kalinya dengan elemen tak nol lain menghasilkan nol.

17. Himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan…

A. Gelanggang komutatif dengan elemen satuan
B. Lapangan
C. Gelanggang non-komutatif
D. Grupoid

Jawaban: A. Z adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan 1, tetapi bukan lapangan karena tidak semua elemen memiliki invers perkalian.

18. Diketahui suatu himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}. Berapakah banyaknya anggota dari hasil kali kartesian A × B?

A. 5
B. 6
C. 8
D. 9

Jawaban: B. Banyaknya anggota A × B adalah |A| × |B| = 3 × 2 = 6.

19. Dalam himpunan bilangan bulat, jika a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n), maka pernyataan berikut yang benar adalah…

A. a + c ≡ b + d (mod n)
B. a – c ≡ b – d (mod n)
C. ac ≡ bd (mod n)
D. Semua benar

Jawaban: D. Sifat kekongruenan menjamin bahwa operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian mempertahankan kekongruenan modulo n.

20. Bentuk bilangan kompleks z = 2 + 3i dalam bentuk polar adalah…

A. √13 (cos θ + i sin θ) dengan θ = arctan(3/2)
B. √12 (cos θ + i sin θ) dengan θ = arctan(2/3)
C. √13 (cos θ + i sin θ) dengan θ = arctan(2/3)
D. √12 (cos θ + i sin θ) dengan θ = arctan(3/2)

Jawaban: A. Modulus dari 2 + 3i adalah √(2² + 3²) = √13, dan argumen θ = arctan(3/2).

21. Diberikan pemetaan f: R → R dengan f(x) = x². Pemetaan tersebut bersifat…

A. Injektif
B. Surjektif
C. Bijektif
D. Tidak injektif dan tidak surjektif

Jawaban: D. f(x) = x² tidak injektif karena f(1) = f(-1), dan tidak surjektif karena tidak ada x real dengan x² = -1.

22. Jika operasi biner * pada himpunan bilangan real didefinisikan sebagai a * b = a + b – ab, apakah operasi tersebut bersifat asosiatif?

A. Ya
B. Tidak
C. Tergantung nilai a dan b
D. Hanya untuk bilangan bulat

Jawaban: A. Periksa (a * b) * c = (a + b – ab) * c = (a + b – ab) + c – (a + b – ab)c = a + b + c – ab – ac – bc + abc. Demikian pula a * (b * c) menghasilkan ekspresi yang sama, sehingga asosiatif.

23. Himpunan bilangan bulat modulo 5, yaitu Z₅, terhadap operasi penjumlahan modulo 5 membentuk…

A. Grupoid
B. Semigrup
C. Monoid
D. Grup

Jawaban: D. Z₅ terhadap penjumlahan memenuhi sifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas 0, dan setiap elemen memiliki invers (misal invers 1 adalah 4).

24. Dalam suatu grup G, jika a² = e untuk setiap a ∈ G, maka grup G bersifat…

A. Siklik
B. Abelian
C. Berhingga
D. Primitif

Jawaban: B. Sifat a² = e mengakibatkan a = a⁻¹, maka (ab)² = e sehingga abab = e, kalikan kiri dengan a dan kanan dengan b menghasilkan ba = ab, jadi G abelian.

25. Subgrup H dari grup G dikatakan subgrup normal jika…

A. H = G
B. aH = Ha untuk setiap a ∈ G
C. H hanya memiliki elemen identitas
D. H adalah grup siklik

Jawaban: B. Definisi subgrup normal adalah koset kiri sama dengan koset kanan, yaitu aH = Ha untuk semua a ∈ G.

26. Grup permutasi S₃ memiliki orde…

A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

Jawaban: B. S₃ adalah grup semua permutasi dari 3 elemen, banyaknya adalah 3! = 6.

27. Grup siklik yang dibangun oleh elemen a dengan orde 12 memiliki berapa banyak generator?

A. 2
B. 4
C. 6
D. 12

Jawaban: B. Generator grup siklik berorde n adalah elemen a^k dengan gcd(k, n) = 1. Untuk n = 12, k = 1, 5, 7, 11, yaitu 4 generator.

28. Jika H adalah subgrup dari G, maka banyaknya koset kiri dari H dalam G sama dengan…

A. |H|
B. |G|
C. Indeks H di G, yaitu [G:H]
D. |G| – |H|

Jawaban: C. Banyaknya koset kiri (atau kanan) dari H dalam G adalah indeks [G:H] = |G|/|H| jika G berhingga.

29. Diketahui homomorfisma grup φ: Z → Z dengan φ(x) = 2x. Kernel dari φ adalah…

A. {0}
B. {0, 2}
C. Z
D. {x ∈ Z | 2x = 0} = {0}

Jawaban: D. Kernel adalah himpunan x ∈ Z sehingga φ(x) = 0, yaitu 2x = 0, hanya x = 0.

30. Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa membentuk…

A. Gelanggang
B. Lapangan
C. Daerah integral
D. a dan c benar

Jawaban: D. Z terhadap penjumlahan dan perkalian merupakan gelanggang komutatif dengan elemen satuan 1 dan tidak memiliki pembagi nol, sehingga merupakan daerah integral.

31. Misalkan R adalah gelanggang dengan elemen satuan. Jika a ∈ R memiliki invers terhadap perkalian, maka a disebut…

A. Elemen nol
B. Elemen unit
C. Elemen prima
D. Elemen tak tereduksi

Jawaban: B. Elemen yang memiliki invers perkalian disebut unit.

32. Diberikan gelanggang Z₆. Himpunan mana yang merupakan ideal dari Z₆?

A. {0, 2, 4}
B. {0, 3}
C. {0, 2, 3}
D. a dan b benar

Jawaban: D. {0, 2, 4} adalah ideal yang dibangun oleh 2, dan {0, 3} adalah ideal yang dibangun oleh 3. Keduanya merupakan ideal.

33. Homomorfisma gelanggang φ: R → S disebut epimorfisma jika…

A. φ injektif
B. φ surjektif
C. φ bijektif
D. φ memetakan elemen satuan ke elemen satuan

Jawaban: B. Epimorfisma adalah homomorfisma yang surjektif.

34. Gelanggang suku banyak R[x] dengan R daerah integral, maka R[x] merupakan…

A. Lapangan
B. Daerah integral
C. Gelanggang Euclid
D. b dan c benar

Jawaban: B. Jika R adalah daerah integral, maka gelanggang polinomial R[x] juga merupakan daerah integral.

35. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c, d}. Relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B. Jika relasi R = {(1, a), (2, b)}, maka pernyataan yang benar adalah…

A. R adalah fungsi karena setiap anggota A dipasangkan tepat satu anggota B
B. R bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan
C. R adalah fungsi karena daerah hasilnya subset dari B
D. R bukan fungsi karena ada anggota B yang tidak memiliki pasangan

Jawaban: B. Fungsi mengharuskan setiap anggota domain (A) memiliki tepat satu pasangan di kodomain (B). Karena 3 ∈ A tidak memiliki pasangan, maka R bukan fungsi.

36. Bilangan bulat a dikatakan membagi b (ditulis a | b) jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = a · k. Dari pernyataan berikut, yang benar adalah…

A. 5 | 15
B. 5 | 16
C. 6 | 15
D. 4 | 15

Jawaban: A. 5 membagi 15 karena 15 = 5 x 3, dengan k = 3 bilangan bulat. Opsi lainnya tidak memenuhi karena hasil baginya bukan bilangan bulat.

37. Dalam kekongruenan modulo n, pernyataan a ≡ b (mod n) berarti…

A. a + b habis dibagi n
B. a × b habis dibagi n
C. a – b habis dibagi n
D. a / b habis dibagi n

Jawaban: C. Definisi a ≡ b (mod n) adalah n membagi (a – b) atau a – b = kn untuk suatu bilangan bulat k.

38. Bilangan kompleks z = 2 + 3i memiliki bentuk polar dengan modulus dan argumen. Modulus dari z adalah…

A. 5
B. √13
C. √5
D. 13

Jawaban: B. Modulus bilangan kompleks a + bi adalah √(a² + b²). Untuk z = 2 + 3i, modulusnya = √(4 + 9) = √13.

39. Diketahui pemetaan f: R → R dengan f(x) = x². Sifat pemetaan f adalah…

A. injektif dan surjektif
B. injektif tetapi tidak surjektif
C. tidak injektif tetapi surjektif
D. tidak injektif dan tidak surjektif

Jawaban: D. f(x)=x² tidak injektif karena f(-1)=f(1)=1, dan tidak surjektif karena bilangan negatif tidak memiliki prapeta.

40. Pada himpunan bilangan bulat Z, didefinisikan operasi biner * dengan a * b = a + b + 1 untuk setiap a, b ∈ Z. Sifat operasi ini adalah…

A. hanya tertutup
B. hanya asosiatif
C. asosiatif dan komutatif
D. tidak komutatif dan tidak asosiatif

Jawaban: C. Operasi * komutatif karena a+b+1 = b+a+1. Asosiatif: (a*b)*c = (a+b+1)+c+1 = a+b+c+2, sama dengan a*(b*c). Grupoid, semigrup, monoid.

41. Himpunan bilangan real R dengan operasi penjumlahan biasa membentuk grup. Unsur identitas pada grup tersebut adalah…

A. 1
B. 0
C. -1
D. tidak ada

Jawaban: B. Untuk setiap x ∈ R, x + 0 = x, sehingga 0 adalah unsur identitas pada grup (R, +).

42. Dalam suatu grup G, diketahui a dan b ∈ G. Jika a² = e dan b³ = e, dengan e unsur identitas, maka (ab)⁻¹ = …

A. ab
B. a²b
C. b⁻¹ a⁻¹
D. ab²

Jawaban: C. Sifat invers pada grup: (ab)⁻¹ = b⁻¹ a⁻¹. Ini berlaku untuk semua grup.

43. Himpunan S = {0, 2, 4} dengan operasi penjumlahan modulo 6 membentuk subgrup dari grup (Z₆, +). Anggota S memenuhi sifat…

A. tertutup terhadap penjumlahan modulo 6
B. tidak tertutup karena 2+4=0 tidak di S
C. hanya memiliki unsur identitas 0
D. tidak memiliki invers

Jawaban: A. 0+0=0, 0+2=2, 0+4=4, 2+2=4, 2+4=0, 4+4=2 (semua di S). S tertutup dan memenuhi aksioma subgrup.

44. Grup permutasi S₃ adalah grup simetri dari 3 elemen. Banyaknya anggota grup S₃ adalah…

A. 3
B. 6
C. 9
D. 12

Jawaban: B. S₃ adalah grup permutasi dari 3 elemen, dengan jumlah anggota n! = 3! = 6.

45. Grup siklik adalah grup yang dapat dibangun oleh satu elemen. Grup Z₆ (bilangan bulat modulo 6) dengan operasi penjumlahan adalah grup siklik. Generator dari Z₆ adalah…

A. hanya 1
B. 1 dan 5
C. 1, 2, dan 3
D. semua elemen

Jawaban: B. Grup Z₆ siklik, generatornya adalah bilangan yang relatif prima dengan 6, yaitu 1 dan 5.

46. Diketahui grup G dan subgrup H. Koset kiri dari H dalam G adalah himpunan aH = {ah | h ∈ H}. Jika G = Z (bilangan bulat) dan H = 3Z (kelipatan 3), maka koset kiri 2 + H adalah…

A. {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}
B. {…, -3, 0, 3, 6, …}
C. {…, -2, 1, 4, 7, …}
D. {…, -5, -2, 1, 4, …}

Jawaban: A. 2 + 3Z = {2 + 3k | k ∈ Z} = {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}.

47. Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal jika…

A. untuk setiap g ∈ G, gN = Ng
B. N adalah subgrup siklik
C. ordo N sama dengan ordo G
D. N hanya berisi unsur identitas

Jawaban: A. Definisi subgrup normal: gN = Ng untuk semua g ∈ G, atau ekuivalen gNg⁻¹ ⊆ N.

48. Homomorfisme grup f: G → H disebut epimorfisme jika…

A. f injektif
B. f surjektif
C. f bijektif
D. f adalah pemetaan konstan

Jawaban: B. Epimorfisme adalah homomorfisme grup yang surjektif, yaitu setiap elemen di H memiliki prapeta di G.

49. Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa membentuk gelanggang. Sifat yang tidak dimiliki oleh gelanggang ini adalah…

A. komutatif terhadap penjumlahan
B. asosiatif terhadap perkalian
C. setiap elemen memiliki invers perkalian
D. distributif perkalian terhadap penjumlahan

Jawaban: C. Dalam gelanggang (Z, +, ×), tidak setiap elemen memiliki invers perkalian (hanya 1 dan -1). Sifat lainnya dimiliki.

50. Ideal I dari gelanggang R adalah subring yang memenuhi sifat untuk setiap r ∈ R dan i ∈ I, r · i ∈ I. Dalam gelanggang Z, himpunan berikut yang merupakan ideal adalah…

A. himpunan bilangan ganjil
B. himpunan bilangan genap
C. himpunan bilangan prima
D. himpunan bilangan kuadrat

Jawaban: B. Himpunan bilangan genap (2Z) adalah subring dan untuk setiap r ∈ Z dan i ∈ 2Z, r·i adalah genap, sehingga memenuhi definisi ideal. Bilangan ganjil tidak tertutup penjumlahan dan tidak membentuk ideal.

PEMA4315 — Struktur Aljabar

Latihan Tambahan dengan AI