MATA4302 — Pengantar Teori Grup

1. Himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan biasa merupakan suatu grup. Sifat apakah yang dipenuhi oleh operasi tersebut sehingga Z disebut grup?

A. Tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas 1, dan setiap elemen memiliki invers berupa lawannya
B. Tertutup, komutatif, memiliki elemen identitas 1, dan setiap elemen memiliki invers berupa kebalikannya
C. Tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas 0, dan setiap elemen memiliki invers berupa lawannya
D. Tertutup, komutatif, memiliki elemen identitas 0, dan setiap elemen memiliki invers berupa kebalikannya

Jawaban: C. Z terhadap penjumlahan bersifat tertutup, asosiatif, elemen identitas adalah 0, dan invers setiap a adalah -a sehingga membentuk grup.

2. Diberikan himpunan G = {1, -1} terhadap operasi perkalian biasa. Pernyataan berikut yang benar adalah:

A. G bukan grup karena tidak tertutup
B. G adalah grup karena tertutup, asosiatif, identitas 1, dan setiap elemen memiliki invers
C. G adalah grup karena bersifat komutatif
D. G bukan grup karena tidak memiliki elemen identitas

Jawaban: B. G = {1, -1} tertutup terhadap perkalian, asosiatif, identitas 1, invers 1 adalah 1, invers -1 adalah -1, sehingga membentuk grup.

3. Suatu himpunan G dengan operasi biner * disebut grup apabila memenuhi empat aksioma. Di bawah ini yang bukan merupakan aksioma grup adalah:

A. Operasi * bersifat asosiatif
B. Terdapat elemen identitas e di G
C. Operasi * bersifat komutatif
D. Setiap elemen di G memiliki invers di G

Jawaban: C. Sifat komutatif tidak termasuk dalam aksioma grup. Grup tidak harus komutatif, grup komutatif disebut grup abelian.

4. Misalkan G = {a, b, c, d} dengan operasi * yang didefinisikan dalam tabel Cayley. Agar G menjadi grup, syarat yang harus dipenuhi adalah:

A. Operasi * bersifat tertutup, asosiatif, ada elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers
B. Operasi * bersifat tertutup dan komutatif
C. Operasi * bersifat asosiatif dan komutatif
D. Setiap elemen memiliki invers dan operasi bersifat komutatif

Jawaban: A. Definisi grup mencakup empat aksioma: tertutup, asosiatif, ada identitas, dan setiap elemen memiliki invers.

5. Diketahui G = {0, 2, 4} terhadap penjumlahan modulo 6. Apakah G merupakan grup?

A. Ya, karena G memenuhi sifat komutatif
B. Tidak, karena G tidak tertutup terhadap penjumlahan modulo 6
C. Ya, karena G tertutup, asosiatif, identitas 0, dan invers setiap elemen ada
D. Tidak, karena tidak memiliki elemen identitas

Jawaban: C. Hasil penjumlahan modulo 6 dari anggota G selalu di G, asosiatif, identitas 0, invers 0 adalah 0, invers 2 adalah 4, invers 4 adalah 2.

6. Dalam suatu grup G, jika a dan b adalah anggota G, maka invers dari (a * b) adalah:

A. a⁻¹ * b⁻¹
B. b⁻¹ * a⁻¹
C. a * b
D. b * a

Jawaban: B. Sifat dasar grup: (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹ karena (a * b) * (b⁻¹ * a⁻¹) = e.

7. Diberikan grup G dengan elemen identitas e. Pernyataan yang benar mengenai sifat kanselasi kiri adalah:

A. Jika a * b = a * c maka b = c
B. Jika a * b = c * a maka b = c
C. Jika a * b = c * a maka a = c
D. Jika a * b = a * c maka a = c

Jawaban: A. Sifat kanselasi kiri: jika a * b = a * c, maka dengan mengalikan a⁻¹ dari kiri diperoleh b = c.

8. Dalam grup G, persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian tunggal. Bentuk penyelesaiannya adalah:

A. x = b⁻¹ * a
B. x = b * a⁻¹
C. x = a * b⁻¹
D. x = a⁻¹ * b

Jawaban: D. Kalikan kedua ruas persamaan a * x = b dengan a⁻¹ dari kiri sehingga diperoleh x = a⁻¹ * b.

9. Jika G adalah suatu grup dan a, b, c ∈ G, maka pernyataan berikut yang selalu benar adalah:

A. (a * b)² = a² * b²
B. Jika a * b = a * c maka b = c
C. Invers dari a * b adalah a⁻¹ * b⁻¹
D. a * b = b * a

Jawaban: B. Sifat kanselasi kiri berlaku di grup. (a * b)² belum tentu sama dengan a² * b² jika grup tidak abelian.

10. Misalkan G adalah grup dengan elemen identitas e. Jika a² = e untuk setiap a ∈ G, maka:

A. G adalah grup hingga
B. G adalah grup siklik
C. G memiliki tepat dua elemen
D. G adalah grup abelian

Jawaban: D. Jika a² = e untuk setiap a, maka a = a⁻¹, sehingga ab = (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ = ba, jadi G abelian.

11. Himpunan H yang merupakan himpunan bagian dari grup G disebut subgrup jika dan hanya jika:

A. H tertutup terhadap operasi di G
B. H tertutup terhadap operasi dan memuat invers setiap anggotanya
C. H memuat elemen identitas dan tertutup terhadap operasi
D. H memuat elemen identitas, tertutup terhadap operasi, dan tertutup terhadap invers

Jawaban: D. Syarat subgrup: H bukan himpunan kosong, tertutup terhadap operasi biner, dan tertutup terhadap pengambilan invers.

12. Diberikan grup G = Z terhadap penjumlahan. Himpunan di bawah ini yang merupakan subgrup dari Z adalah:

A. H = {bilangan genap}
B. H = {bilangan ganjil}
C. H = {bilangan prima}
D. H = {bilangan bulat positif}

Jawaban: A. Bilangan genap tertutup terhadap penjumlahan dan memiliki invers yaitu lawannya, serta memuat 0.

13. Diketahui grup G = {1, -1, i, -i} terhadap perkalian biasa. Himpunan manakah yang merupakan subgrup dari G?

A. {1, -1}
B. {1, i}
C. {-1, i}
D. {i, -i}

Jawaban: A. {1, -1} tertutup terhadap perkalian, memuat identitas 1, dan invers 1 adalah 1, invers -1 adalah -1.

14. Uji subgrup satu langkah menyatakan bahwa himpunan bagian H yang tidak kosong dari grup G merupakan subgrup jika:

A. Untuk setiap a, b ∈ H berlaku a⁻¹ * b ∈ H
B. Untuk setiap a, b ∈ H berlaku a * b⁻¹ ∈ H
C. Untuk setiap a, b ∈ H berlaku a * b ∈ H
D. Untuk setiap a, b ∈ H berlaku a⁻¹ * b⁻¹ ∈ H

Jawaban: B. Uji subgrup satu langkah: jika H tidak kosong dan a * b⁻¹ ∈ H untuk setiap a, b ∈ H, maka H subgrup.

15. Diberikan grup G = Z₁₂ terhadap penjumlahan modulo 12. Subgrup yang dibangun oleh elemen 3 adalah:

A. {0, 3}
B. {0, 3, 6}
C. {0, 3, 6, 9}
D. {3, 6, 9}

Jawaban: C. Subgrup siklik yang dibangun oleh 3 adalah kelipatan 3 modulo 12, yaitu {0, 3, 6, 9}.

16. Dalam grup siklik G = dengan orde n, subgrup dari G adalah:

A. Semua himpunan bagian dari G
B. Hanya subgrup trivial {e}
C. Subgrup yang dibangun oleh a^k untuk setiap k
D. Subgrup yang dibangun oleh a^k dengan k pembagi n

Jawaban: D. Setiap subgrup dari grup siklik G = berorde n adalah siklik yang dibangun oleh a^k dengan k membagi n.

17. Diberikan grup G = Z₈ terhadap penjumlahan modulo 8. Hasil perkalian subgrup H = {0, 4} dan K = {0, 2, 4, 6} adalah:

A. {0, 2, 4, 6}
B. {0, 4}
C. {0, 2, 4}
D. {0, 2, 6}

Jawaban: A. Perkalian subgrup H + K dalam grup abelian adalah {h + k | h ∈ H, k ∈ K} = {0, 4} + {0, 2, 4, 6} = {0, 2, 4, 6}.

18. Diketahui grup G = Z_6 dan subset H = {0, 2, 4}. H membentuk subgrup siklik dari G. Generator dari H adalah …

A. 0
B. 2
C. 3
D. 1

Jawaban: B. Subgrup H = {0, 2, 4} merupakan subgrup siklik yang dibangun oleh 2, karena 2+2 = 4 dan 2+2+2 = 0. Elemen 0 hanya membangun subgrup trivial.

19. Dalam grup Z_12, subgrup siklik yang dibangun oleh 8 memiliki orde …

A. 3
B. 4
C. 6
D. 12

Jawaban: A. Orde elemen 8 di Z_12 adalah 12 / gcd(8,12) = 12/4 = 3, sehingga subgrup yang dibangun memiliki orde 3.

20. Perkalian subgrup-subgrup dari suatu grup G belum tentu menghasilkan subgrup. Hal ini terjadi jika subgrup H dan K tidak memenuhi sifat …

A. H ∪ K = G
B. HK = {e}
C. H ∩ K = {e}
D. HK = KH

Jawaban: D. Produk HK merupakan subgrup jika dan hanya jika HK = KH. Jika tidak, hasil perkalian belum tentu tertutup terhadap operasi grup.

21. Grup permutasi S_3 beranggotakan … elemen.

A. 9
B. 3
C. 6
D. 12

Jawaban: C. S_3 adalah grup permutasi dari 3 elemen, sehingga banyak anggotanya adalah 3! = 6.

22. Pada grup S_4, permutasi (1 2 3 4) termasuk jenis sikel …

A. 2-sikel
B. 3-sikel
C. 4-sikel
D. 1-sikel

Jawaban: C. Permutasi (1 2 3 4) memetakan 1 ke 2, 2 ke 3, 3 ke 4, dan 4 ke 1, sehingga merupakan sikel dengan panjang 4 atau 4-sikel.

23. Diketahui σ = (1 3)(2 4 5) ∈ S_5. Orde dari σ adalah …

A. 5
B. 6
C. 4
D. 7

Jawaban: B. σ terdiri dari 2-sikel dan 3-sikel. Orde dari hasil kali sikel-sikel saling lepas adalah KPK dari panjang sikel, yaitu KPK(2,3) = 6.

24. Suatu grup permutasi disebut grup simetri jika …

A. berorder terbatas
B. hanya berisi permutasi genap
C. merupakan grup dari semua permutasi pada suatu himpunan
D. mempunyai elemen identitas

Jawaban: C. Grup simetri pada himpunan X adalah himpunan semua permutasi pada X, dinotasikan S_X, dengan operasi komposisi fungsi.

25. Grup selang-seling A_3 terdiri dari …

A. permutasi identitas saja
B. permutasi identitas dan (1 2)
C. semua permutasi di S_3
D. permutasi identitas dan (1 2 3), (1 3 2)

Jawaban: D. A_3 adalah himpunan permutasi genap di S_3. Permutasi genap di S_3 adalah identitas, (1 2 3), dan (1 3 2).

26. Banyaknya elemen dari grup selang-seling A_4 adalah …

A. 12
B. 4
C. 24
D. 8

Jawaban: A. A_n berorde n!/2. Untuk n=4, orde A_4 adalah 24/2 = 12.

27. Permutasi (1 3)(2 4) termasuk dalam grup selang-seling A_4 karena …

A. merupakan permutasi ganjil
B. merupakan permutasi genap dengan 2 transposisi
C. hanya memiliki satu sikel
D. merupakan 3-sikel

Jawaban: B. Permutasi (1 3)(2 4) terdiri dari dua transposisi. Setiap transposisi adalah permutasi ganjil, tetapi hasil kali dua transposisi adalah permutasi genap, sehingga termasuk A_4.

28. Diketahui A_5. Orde dari A_5 adalah …

A. 60
B. 120
C. 30
D. 20

Jawaban: A. S_5 berorde 5! = 120, maka A_5 berorde 120/2 = 60.

29. Diketahui grup G dan subgrup H. Koset kiri dari H dalam G adalah himpunan …

A. Hg = {hg | h ∈ H} untuk suatu g ∈ G
B. gH = {gh | h ∈ H} untuk suatu g ∈ G
C. H = {h | h ∈ H}
D. G = {g | g ∈ G}

Jawaban: B. Koset kiri dari H dalam G didefinisikan sebagai gH = {gh | h ∈ H} untuk suatu g ∈ G.

30. Diketahui grup Z_6 dan subgrup H = {0, 3}. Koset kiri 1+H adalah …

A. {2, 5}
B. {0, 3}
C. {1, 4}
D. {1, 2}

Jawaban: C. Koset kiri 1+H = {1+0, 1+3} = {1, 4} dalam Z_6.

31. Jika H adalah subgrup dari G dan a, b ∈ G, maka aH = bH jika dan hanya jika …

A. a = b
B. ab⁻¹ ∈ H
C. ab ∈ H
D. a⁻¹b ∈ H

Jawaban: D. Dua koset kiri aH dan bH sama jika dan hanya jika a⁻¹b ∈ H.

32. Banyaknya koset kanan berbeda dari subgrup H dalam grup G disebut …

A. indeks dari H di G
B. orde dari H
C. orde dari G
D. generator dari H

Jawaban: A. Indeks dari H di G, dinotasikan [G : H], adalah banyaknya koset kiri (atau kanan) berbeda dari H dalam G.

33. Subgrup N dari grup G dikatakan subgrup normal jika untuk setiap g ∈ G, berlaku …

A. gN = Ng
B. gNg⁻¹ ⊆ N
C. N ⊆ G
D. gN = {g}

Jawaban: A. Subgrup N disebut normal di G jika koset kiri sama dengan koset kanan, yaitu gN = Ng untuk semua g ∈ G. Kondisi ini setara dengan gNg⁻¹ ⊆ N.

34. Diketahui grup G = S_3 dan subgrup N = {e, (1 2 3), (1 3 2)}. Subgrup N bersifat normal di G karena …

A. N merupakan subgrup siklik
B. N merupakan grup permutasi genap
C. N berorder 3 dan G berorder 6
D. indeks N di G adalah 2

Jawaban: D. Subgrup dengan indeks 2 selalu normal. Di S_3, N adalah A_3 yang berindeks 2, sehingga N normal.

35. Misalkan G suatu grup dan N subgrup dari G. N disebut subgrup normal dari G jika untuk setiap g∈G dan n∈N berlaku…

A. gn ∈ N
B. ng ∈ N
C. gng⁻¹ ∈ N
D. g⁻¹ng = n

Jawaban: C. Syarat subgrup normal adalah gng⁻¹ ∈ N untuk setiap g∈G dan n∈N.

36. Diketahui G grup dan N subgrup normal dari G. Jika a∈G dan b∈G, maka (aN)(bN) = …

A. abN
B. aNbN
C. (ab)N
D. Nab

Jawaban: C. (aN)(bN) = abNN = abN karena N normal sehingga perkalian koset terdefinisi.

37. Teorema Lagrange menyatakan bahwa jika G grup hingga dan H subgrup dari G, maka…

A. |H| = |G|
B. |H| membagi |G|
C. |G| membagi |H|
D. |H| sama dengan |G| dibagi 2

Jawaban: B. Teorema Lagrange: untuk grup hingga G dan subgrup H, orde H membagi orde G.

38. Diketahui grup G berorder 15. Menurut teorema Lagrange, subgrup yang mungkin ada di G berorder…

A. 2
B. 3
C. 6
D. 10

Jawaban: B. Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15. Jadi subgrup yang mungkin berorder 3.

39. Jika G grup dengan |G| = 24 dan H subgrup dari G dengan |H| = 6, maka indeks H di G adalah…

A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

Jawaban: B. Indeks = |G|/|H| = 24/6 = 4.

40. Grup berorder prima p memiliki subgrup sejati berorder…

A. 1
B. 2
C. p-1
D. p

Jawaban: A. Grup berorder prima hanya memiliki subgrup trivial yaitu {e} berorder 1 dan dirinya sendiri.

41. Jika G grup hingga dan H subgrup dari G, maka banyaknya koset kiri berbeda dari H di G adalah…

A. |G|
B. |H|
C. |G|/|H|
D. |H|/|G|

Jawaban: C. Banyak koset kiri = indeks H = |G|/|H|.

42. Diketahui grup G berorder 20. Manakah pernyataan yang benar?

A. G memiliki subgrup berorder 6
B. Setiap subgrup dari G berorder genap
C. Subgrup dari G mungkin berorder 4
D. Semua subgrup dari G berorder prima

Jawaban: C. 4 adalah faktor dari 20, sehingga ada kemungkinan subgrup berorder 4.

43. Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka himpunan koset-koset {aN | a∈G} membentuk grup terhadap operasi (aN)(bN) = abN. Grup ini disebut…

A. Grup faktor
B. Grup simetri
C. Grup permutasi
D. Grup siklik

Jawaban: A. Grup yang anggotanya koset-koset dari N disebut grup faktor G/N.

44. Diketahui Z grup bilangan bulat dan nZ = {nk | k∈Z} untuk n bilangan bulat positif. Grup faktor Z/nZ isomorfis dengan…

A. Grup bilangan riil
B. Grup bilangan bulat
C. Grup siklik berorder n
D. Grup berhingga tak terbatas

Jawaban: C. Z/nZ isomorfis dengan grup siklik berorder n yaitu grup bilangan bulat modulo n.

45. Jika G = Z₆ (grup bilangan bulat modulo 6) dan N = {0,3}, maka grup faktor G/N berorder…

A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

Jawaban: B. |G/N| = |G|/|N| = 6/2 = 3.

46. Diketahui G grup dan N subgrup normal dari G. Jika G/N siklik dan N subgrup trivial, maka G…

A. siklik
B. abelian
C. tak hingga
D. prima

Jawaban: A. Jika N trivial maka G ≅ G/N yang siklik, sehingga G siklik.

47. Pada grup faktor G/N, unsur identitasnya adalah…

A. N
B. G
C. aN dengan a∈N
D. aN dengan a∈G

Jawaban: A. Identitas grup faktor adalah koset N sendiri.

48. Jika G grup hingga dan N subgrup normal dari G, maka orde grup faktor G/N adalah…

A. |G|
B. |N|
C. |G| – |N|
D. |G|/|N|

Jawaban: D. |G/N| = |G|/|N|.

49. Grup faktor G/N dikatakan abelian jika untuk setiap a,b∈G berlaku…

A. aN = bN
B. (aN)(bN) = (bN)(aN)
C. abN = N
D. aNb = baN

Jawaban: B. Grup faktor abelian jika perkalian koset komutatif: (aN)(bN) = (bN)(aN).

50. Jika G grup dan N subgrup normal dari G, maka pemetaan π: G → G/N yang didefinisikan π(g) = gN merupakan…

A. homomorfisma grup
B. isomorfisma grup
C. endomorfisma
D. automorfisma

Jawaban: A. Pemetaan π(g)=gN adalah homomorfisma grup karena π(ab)=abN=(aN)(bN)=π(a)π(b).

51. Diketahui G grup, N subgrup normal dari G. Jika G/N siklik, maka pernyataan yang benar adalah…

A. G pasti siklik
B. G mungkin saja tidak siklik
C. G pasti abelian
D. G bebas

Jawaban: B. G/N siklik tidak menjamin G siklik, misalnya grup simetri S₃/N dengan N normal berorder 3 menghasilkan grup faktor siklik, namun S₃ tidak siklik.

52. Diketahui grup faktor G/N dengan G grup dan N subgrup normal dari G. Jika G/N adalah grup abelian, maka pernyataan yang benar adalah…

A. G/N tidak memiliki elemen identitas
B. G/N memenuhi sifat komutatif untuk setiap elemennya
C. Setiap subgrup dari G/N pasti siklik
D. G/N selalu berorde tak hingga

Jawaban: B. Grup faktor G/N yang abelian berarti setiap hasil kali dua koset bersifat komutatif, yaitu (aN)(bN) = (bN)(aN) untuk semua a,b di G.

53. Diberikan grup G dan H grup. Pemetaan f: G → H disebut homomorfisma grup jika untuk setiap a,b ∈ G berlaku…

A. f(a + b) = f(a) + f(b)
B. f(ab) = f(a) f(b)
C. f(a) f(b) = f(ba)
D. f(a) = f(b) untuk semua a,b

Jawaban: B. Homomorfisma grup adalah pemetaan yang mempertahankan operasi grup, yaitu f(ab) = f(a)f(b) untuk setiap a,b ∈ G. Jika operasi ditulis secara multiplikatif, maka bentuk ini yang tepat.

54. Diketahui f: G → H adalah homomorfisma grup. Jika e_G adalah elemen identitas di G dan e_H adalah elemen identitas di H, maka pernyataan yang benar adalah…

A. f(e_H) = e_H
B. f(e_G) = e_G
C. f(e_H) = e_G
D. f(e_G) = e_H

Jawaban: D. Sifat dasar homomorfisma grup menyatakan bahwa bayangan elemen identitas di G adalah elemen identitas di H, yaitu f(e_G) = e_H.

55. Diberikan homomorfisma grup f: Z → Z dengan f(n) = 2n untuk setiap n ∈ Z. Sifat f yang benar adalah…

A. f adalah homomorfisma karena f(m+n) = 2(m+n) = 2m + 2n = f(m) + f(n)
B. f bukan homomorfisma karena f(0) ≠ 0
C. f adalah homomorfisma karena f(mn) = f(m)f(n)
D. f bukan homomorfisma karena operasi di Z adalah perkalian

Jawaban: A. Operasi pada grup Z adalah penjumlahan. Untuk f(n) = 2n, berlaku f(m+n) = 2(m+n) = 2m + 2n = f(m) + f(n) sehingga f adalah homomorfisma grup.

56. Misalkan f: G → H adalah homomorfisma grup. Sifat berikut yang selalu benar adalah…

A. f(a⁻¹) = f(a)⁻¹ hanya jika G abelian
B. f(a⁻¹) = f(a) untuk setiap a ∈ G
C. f(a⁻¹) = a⁻¹ untuk setiap a ∈ G
D. f(a⁻¹) = (f(a))⁻¹ untuk setiap a ∈ G

Jawaban: D. Salah satu sifat dasar homomorfisma grup adalah f(a⁻¹) = (f(a))⁻¹ untuk setiap a ∈ G, yang dapat dibuktikan dari f(a)f(a⁻¹) = e_H.

57. Diberikan dua homomorfisma grup f: G → H dan g: H → K. Maka komposisi g∘f: G → K adalah…

A. homomorfisma grup
B. belum tentu homomorfisma grup
C. isomorfisma grup
D. monomorfisma grup

Jawaban: A. Komposisi dua homomorfisma grup juga merupakan homomorfisma grup, karena (g∘f)(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a)) g(f(b)) = (g∘f)(a) (g∘f)(b).

58. Jika f: G → H adalah homomorfisma grup dan G adalah grup abelian, maka…

A. f(G) pasti abelian
B. H pasti abelian
C. f(G) belum tentu abelian
D. H pasti siklik

Jawaban: A. Bayangan homomorfisma dari grup abelian adalah grup abelian, karena untuk setiap f(a), f(b) ∈ f(G) berlaku f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a).

59. Diketahui homomorfisma grup f: G → H. Sifat berikut yang merupakan sifat homomorfisma grup adalah…

A. f(ab) = f(a) + f(b)
B. f(a⁻¹) = f(a)⁻¹
C. f(ab) = f(b)f(a)
D. f(e_G) = e_H hanya jika G siklik

Jawaban: B. Sifat f(a⁻¹) = (f(a))⁻¹ merupakan sifat yang selalu benar pada homomorfisma grup, karena dapat diturunkan dari f(a)f(a⁻¹) = e_H.

60. Misalkan f: G → H adalah homomorfisma grup. Kernel dari f didefinisikan sebagai…

A. Ker(f) = {a ∈ G | f(a) = e_H}
B. Ker(f) = {a ∈ G | f(a) = a}
C. Ker(f) = {a ∈ H | f(a) = e_G}
D. Ker(f) = {a ∈ G | f(a) = e_G}

Jawaban: A. Kernel dari homomorfisma grup f adalah himpunan semua elemen di G yang dipetakan ke elemen identitas di H, yaitu Ker(f) = {a ∈ G | f(a) = e_H}.

61. Diketahui homomorfisma grup f: Z → Z₆ dengan f(n) = n mod 6. Kernel dari f adalah…

A. {0}
B. Z
C. 6Z
D. Z₆

Jawaban: C. Kernel dari f adalah semua bilangan bulat n sehingga f(n) = 0 di Z₆, yaitu n mod 6 = 0. Jadi Ker(f) = {n ∈ Z | n = 6k, k ∈ Z} = 6Z.

62. Jika f: G → H homomorfisma grup, maka kernel dari f merupakan…

A. subgrup dari H
B. subgrup siklik dari G
C. subgrup normal dari G
D. subgrup abelian dari H

Jawaban: C. Kernel dari suatu homomorfisma grup selalu merupakan subgrup normal dari G. Ini merupakan teorema penting bahwa kernel bersifat normal.

63. Diberikan homomorfisma grup f: G → H. Jika Ker(f) = {e_G}, maka f bersifat…

A. surjektif
B. bijektif
C. homomorfisma trivial
D. injektif

Jawaban: D. Jika kernel hanya berisi elemen identitas, maka homomorfisma tersebut bersifat injektif. Sebab jika f(a) = f(b) maka f(ab⁻¹) = e_H sehingga ab⁻¹ ∈ Ker(f) = {e_G} yang berarti a = b.

64. Bayangan dari homomorfisma grup f: G → H didefinisikan sebagai…

A. Im(f) = {a ∈ G | f(a) = e_H}
B. Im(f) = {h ∈ H | h = a untuk suatu a ∈ G}
C. Im(f) = {f(a) | a ∈ G}
D. Im(f) = {e_H}

Jawaban: C. Bayangan atau image dari homomorfisma grup f adalah himpunan semua nilai f(a) untuk a ∈ G, yaitu Im(f) = {f(a) | a ∈ G}.

65. Diketahui homomorfisma grup f: Z → Z₄ dengan f(n) = n mod 4. Bayangan dari f adalah…

A. Z
B. Z₄
C. {0, 1, 2, 3}
D. {0, 2}

Jawaban: C. Untuk setiap n ∈ Z, nilai f(n) = n mod 4 dapat menghasilkan semua elemen Z₄ yaitu 0, 1, 2, 3. Jadi Im(f) = {0, 1, 2, 3} = Z₄.

66. Jika f: G → H adalah homomorfisma grup, maka bayangan f merupakan…

A. subgrup dari H
B. subgrup dari G
C. subgrup normal dari G
D. subgrup normal dari H

Jawaban: A. Bayangan suatu homomorfisma grup f: G → H adalah subgrup dari H, tetapi belum tentu normal di H.

67. Diberikan homomorfisma grup f: G → H. Sifat berikut yang benar tentang kernel dan bayangan adalah…

A. Ker(f) adalah subgrup dari H
B. Im(f) adalah subgrup dari G
C. Im(f) adalah subgrup normal dari G
D. Ker(f) adalah subgrup normal dari G

Jawaban: D. Kernel dari homomorfisma grup f selalu merupakan subgrup normal dari G, sedangkan bayangan adalah subgrup dari H.

68. Jika f: G → H adalah homomorfisma grup dan Im(f) = H, maka f disebut…

A. injektif
B. surjektif
C. bijektif
D. endonorfisma

Jawaban: B. Jika bayangan dari f sama dengan H, berarti setiap elemen di H memiliki prapeta di G, sehingga f bersifat surjektif.

69. Diketahui homomorfisma grup f: Z -> Z dengan f(x) = 2x. Sifat apakah yang dimiliki f?

A. Bukan homomorfisma
B. Surjektif
C. Bijektif
D. Injektif

Jawaban: D. Fungsi f(x)=2x bersifat injektif karena jika f(a)=f(b) maka 2a=2b mengakibatkan a=b, namun tidak surjektif karena tidak semua anggota Z merupakan hasil kali 2.

70. Misalkan f: G -> H adalah homomorfisma grup. Sifat apakah yang menyebabkan f dikatakan injektif?

A. f(a) = e_H untuk semua a
B. f(a) = f(b) untuk setiap a dan b
C. f(a) = f(b) mengakibatkan a = b
D. f(a) = f(b) mengakibatkan a = b = e_G

Jawaban: C. Homomorfisma f injektif jika dan hanya jika f(a)=f(b) berimplikasi a=b, yang ekuivalen dengan kernel hanya berisi elemen identitas.

71. Diketahui homomorfisma grup f: R* -> R* dengan f(x) = |x|. Manakah pernyataan yang benar tentang f?

A. f injektif
B. f tidak injektif karena f(2)=f(-2)
C. f bukan homomorfisma
D. f surjektif

Jawaban: B. Nilai mutlak tidak injektif karena f(2)=|2|=2 dan f(-2)=|-2|=2, padahal 2 tidak sama dengan -2.

72. Jika kernel dari homomorfisma grup f: G -> H hanya berisi elemen identitas, maka f bersifat …

A. surjektif
B. homomorfisma trivial
C. bijektif
D. injektif

Jawaban: D. Kernel yang hanya berisi elemen identitas ekuivalen dengan sifat injektif pada homomorfisma grup.

73. Homomorfisma grup f: Z -> Z_2 dengan f(x) = x mod 2 bersifat apakah?

A. Surjektif
B. Injektif
C. Bijektif
D. Bukan homomorfisma

Jawaban: A. Fungsi f(x)=x mod 2 memetakan setiap bilangan bulat ke 0 atau 1 di Z_2, sehingga semua anggota Z_2 terpetakan. Jadi f surjektif, tetapi tidak injektif karena f(0)=0 dan f(2)=0.

74. Misalkan f: G -> H adalah homomorfisma grup. Jika untuk setiap h di H terdapat g di G sehingga f(g)=h, maka f disebut …

A. injektif
B. trivial
C. surjektif
D. kernel trivial

Jawaban: C. Definisi surjektif adalah setiap anggota kodomain memiliki prapeta di domain, sehingga f surjektif.

75. Diketahui homomorfisma f: Z_6 -> Z_3 dengan f(x) = 2x mod 3. Sifat apakah yang dimiliki f?

A. Injektif
B. Surjektif
C. Bijektif
D. Bukan homomorfisma

Jawaban: B. f(0)=0, f(1)=2, f(2)=1, f(3)=0, f(4)=2, f(5)=1, sehingga semua anggota Z_3 terpetakan. Jadi f surjektif, namun tidak injektif karena f(0)=f(3).

76. Homomorfisma grup f: R -> R dengan f(x) = e^x bersifat …

A. surjektif
B. injektif
C. bijektif
D. bukan homomorfisma

Jawaban: B. Fungsi eksponensial bersifat injektif karena monoton naik, namun tidak surjektif karena tidak pernah bernilai negatif atau nol.

77. Dua grup G dan H dikatakan isomorfis jika terdapat homomorfisma f: G -> H yang bersifat …

A. injektif
B. surjektif
C. bijektif
D. trivial

Jawaban: C. Isomorfisma adalah homomorfisma yang bijektif, yaitu sekaligus injektif dan surjektif.

78. Manakah dari berikut yang merupakan isomorfisma grup?

A. f: Z -> 2Z dengan f(x)=2x
B. f: Z -> Z dengan f(x)=x+1
C. f: Z -> Z dengan f(x)=2x
D. f: Z -> Z dengan f(x)=0

Jawaban: A. f(x)=2x memetakan Z ke 2Z secara bijektif dan mempertahankan operasi penjumlahan, sehingga merupakan isomorfisma.

79. Diketahui grup G dan H isomorfis. Jika G siklik, maka H …

A. pasti siklik
B. belum tentu siklik
C. pasti abelian
D. pasti berhingga

Jawaban: A. Isomorfisma mempertahankan sifat grup, termasuk sifat siklik. Jika G siklik maka H juga siklik.

80. Pemetaan f: Z_4 -> Z_4 dengan f(x) = 2x mod 4. Apakah f merupakan isomorfisma?

A. Ya, karena bijektif
B. Ya, karena homomorfisma
C. Tidak, karena tidak injektif
D. Tidak, karena tidak mempertahankan operasi

Jawaban: C. f(0)=0, f(1)=2, f(2)=0, f(3)=2. Jadi f tidak injektif karena f(0)=f(2), sehingga bukan isomorfisma.

81. Automorfisma pada grup G adalah isomorfisma dari G ke …

A. subgrup sejati G
B. Grup lain H
C. Grup trivial
D. G sendiri

Jawaban: D. Automorfisma adalah isomorfisma dari grup ke dirinya sendiri.

82. Diketahui grup G dan Aut(G) adalah himpunan semua automorfisma pada G. Operasi pada Aut(G) adalah …

A. penjumlahan
B. pengurangan
C. perkalian biasa
D. komposisi fungsi

Jawaban: D. Aut(G) membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi, karena komposisi dua automorfisma juga automorfisma.

83. Fungsi f: Z -> Z dengan f(x) = -x. Pernyataan yang benar adalah …

A. f bukan homomorfisma
B. f adalah automorfisma
C. f bukan isomorfisma
D. f hanya injektif

Jawaban: B. f(x) = -x adalah homomorfisma bijektif dari Z ke Z, sehingga merupakan automorfisma pada Z.

84. Himpunan semua homomorfisma dari grup G ke grup H dinotasikan dengan …

A. Hom(G,H)
B. Aut(G)
C. Iso(G,H)
D. End(G)

Jawaban: A. Notasi Hom(G,H) digunakan untuk himpunan semua homomorfisma dari G ke H, sedangkan Aut(G) untuk automorfisma.

85. Teorema Utama Homomorfisma Grup menyatakan bahwa jika φ: G → H adalah homomorfisma grup dengan kernel K, maka grup faktor G/K isomorfis dengan …

A. H
B. Im(φ)
C. Ker(φ)
D. G

Jawaban: B. Teorema Utama Homomorfisma Grup menyatakan bahwa G/K ≅ Im(φ), sehingga jawaban yang benar adalah Im(φ).

86. Diketahui homomorfisma φ: Z → Z6 dengan φ(x)=x mod 6. Kernel dari φ adalah …

A. {0}
B. 6Z
C. Z
D. {0,6}

Jawaban: B. Kernel φ adalah {x∈Z | φ(x)=0} = {x∈Z | x mod 6 =0} = 6Z, sehingga jawaban yang benar adalah 6Z.

87. Jika φ: G → H adalah homomorfisma grup dengan kernel K, maka menurut Teorema Utama Homomorfisma Grup, grup faktor G/K isomorfis dengan …

A. Im(φ)
B. H
C. K
D. G

Jawaban: A. Teorema Utama Homomorfisma Grup menyatakan G/K ≅ Im(φ), sehingga jawaban yang benar adalah Im(φ).

88. Misalkan φ: G → H adalah homomorfisma grup dengan kernel K. Berdasarkan Teorema Utama Homomorfisma Grup, pemetaan ψ: G/K → Im(φ) yang didefinisikan dengan ψ(gK)=φ(g) bersifat …

A. monomorfisma
B. homomorfisma
C. isomorfisma
D. epimorfisma

Jawaban: C. Teorema Utama Homomorfisma Grup menjamin bahwa ψ adalah isomorfisma, sehingga jawaban yang benar adalah isomorfisma.

89. Dalam Teorema Korespondensi, jika N adalah subgrup normal dari G, maka terdapat korespondensi satu-satu antara subgrup dari G yang memuat N dengan …

A. subgrup dari G
B. subgrup dari N
C. subgrup dari G/N
D. subgrup normal dari G

Jawaban: C. Teorema Korespondensi menyatakan korespondensi satu-satu antara subgrup G yang memuat N dengan subgrup G/N, sehingga jawaban yang benar adalah subgrup dari G/N.

90. Diketahui N subgrup normal dari grup G. Jika H adalah subgrup dari G yang memuat N, maka dalam Teorema Korespondensi, H/N adalah …

A. subgrup dari N
B. subgrup dari G
C. subgrup normal dari G
D. subgrup dari G/N

Jawaban: D. Menurut Teorema Korespondensi, H/N merupakan subgrup dari G/N, sehingga jawaban yang benar adalah subgrup dari G/N.

91. Menurut Teorema Korespondensi, jika N adalah subgrup normal dari G dan H adalah subgrup dari G yang memuat N, maka H normal di G jika dan hanya jika …

A. H subgrup di G
B. H/N subgrup di G/N
C. H/N normal di G/N
D. N subgrup di H

Jawaban: C. Teorema Korespondensi menyatakan H normal di G jika dan hanya jika H/N normal di G/N, sehingga jawaban yang benar adalah H/N normal di G/N.

92. Misalkan G adalah grup dan N subgrup normal dari G. Teorema Korespondensi menyatakan bahwa setiap subgrup dari G/N dapat dinyatakan sebagai … untuk suatu subgrup H dari G yang memuat N.

A. H/N
B. H
C. N/H
D. G/H

Jawaban: A. Teorema Korespondensi mengatakan setiap subgrup G/N berbentuk H/N dengan H subgrup G yang memuat N, sehingga jawaban yang benar adalah H/N.

93. Teorema Homomorfisma Grup Kedua menyatakan bahwa jika H dan N adalah subgrup dari grup G dengan N normal di G, maka H∩N normal di H dan …

A. H/(H∩N) ≅ H/N
B. H/(H∩N) ≅ HN/N
C. H/(H∩N) ≅ G/N
D. H/(H∩N) ≅ G/H

Jawaban: B. Teorema Homomorfisma Grup Kedua menyatakan H/(H∩N) ≅ HN/N, sehingga jawaban yang benar adalah H/(H∩N) ≅ HN/N.

94. Diketahui grup G dan subgrup H,N dengan N normal di G. Berdasarkan Teorema Homomorfisma Grup Kedua, maka HN adalah …

A. subgrup normal dari G
B. subgrup dari N
C. subgrup dari H
D. subgrup dari G

Jawaban: D. Teorema Homomorfisma Grup Kedua menyebutkan HN merupakan subgrup dari G, sehingga jawaban yang benar adalah subgrup dari G.

95. Dalam Teorema Homomorfisma Grup Kedua, jika H dan N subgrup dari G dengan N normal di G, maka H∩N adalah …

A. subgrup normal di N
B. subgrup normal di H
C. subgrup normal di G
D. subgrup normal di HN

Jawaban: B. Teorema Homomorfisma Grup Kedua menyatakan H∩N normal di H, sehingga jawaban yang benar adalah subgrup normal di H.

96. Misalkan G grup, H subgrup dari G, dan N subgrup normal dari G. Menurut Teorema Homomorfisma Grup Kedua, sifat HN/N adalah …

A. isomorfis dengan N
B. isomorfis dengan G/N
C. isomorfis dengan H
D. isomorfis dengan H/(H∩N)

Jawaban: D. Teorema Homomorfisma Grup Kedua menyatakan HN/N ≅ H/(H∩N), sehingga jawaban yang benar adalah isomorfis dengan H/(H∩N).

97. Teorema Homomorfisma Grup Ketiga menyatakan bahwa jika N dan M adalah subgrup normal dari G dengan N ⊆ M, maka …

A. (G/N)/(M/N) ≅ G/M
B. M/N normal di G/N
C. G/N ≅ G/M
D. M/N ≅ G/N

Jawaban: A. Teorema Homomorfisma Grup Ketiga menyatakan (G/N)/(M/N) ≅ G/M, sehingga jawaban yang benar adalah (G/N)/(M/N) ≅ G/M.

98. Diketahui N dan M subgrup normal dari grup G dengan N ⊆ M. Berdasarkan Teorema Homomorfisma Grup Ketiga, maka M/N adalah …

A. subgrup dari M
B. subgrup dari G
C. subgrup normal dari G
D. subgrup normal dari G/N

Jawaban: D. Teorema Homomorfisma Grup Ketiga menyatakan M/N normal di G/N, sehingga jawaban yang benar adalah subgrup normal dari G/N.

99. Dalam Teorema Homomorfisma Grup Ketiga, jika N dan M subgrup normal dari G dengan N ⊆ M, maka grup (G/N)/(M/N) isomorfis dengan …

A. M/N
B. G/N
C. G/M
D. G

Jawaban: C. Teorema Homomorfisma Grup Ketiga menyatakan (G/N)/(M/N) ≅ G/M, sehingga jawaban yang benar adalah G/M.

100. Misalkan G grup, N dan M subgrup normal dari G dengan N ⊆ M. Teorema Homomorfisma Grup Ketiga memberikan hubungan isomorfisma antara (G/N)/(M/N) dan …

A. G/M
B. G/N
C. M/N
D. N/M

Jawaban: A. Teorema Homomorfisma Grup Ketiga menyatakan (G/N)/(M/N) ≅ G/M, sehingga jawaban yang benar adalah G/M.

MATA4302 — Pengantar Teori Grup

Latihan Tambahan dengan AI